מצגת הסבר – פונקציות מעריכיות

13 שקפים · חקירת פונקציות עם e בחזקת x: פרמטר, קיצון, אסימפטוטה, ערך מוחלט ושטח

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

פונקציות מעריכיות

מצגת הסבר – חקירת פונקציות עם $e^{x}$ , נגזרת ואינטגרל

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35472תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354721 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלה נותנים פונקציה כמו $f (x) = (3 x^{2} - a) e^{x}$ ומבקשים לחקור אותה:

למצוא פרמטר מנתון (קיצון, שיפוע משיק)
תחום הגדרה ונקודות חיתוך עם הצירים
נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה
אסימפטוטה וסקיצה
גרף של $∣ f (x) ∣$ או $f^{'} (x)$ , ושטח בעזרת אינטגרל

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354722 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

הרעיונות החשובים

$e^{x}$ תמיד חיובי

לכל $x$ : ‏ $e^{x} > 0$ , וגם $e^{2 x - 1} > 0$ .

לכן במכפלה $(10 - 4 x) \cdot e^{2 x - 1} = 0$ רק הגורם $10 - 4 x$ יכול להתאפס, וסימן הנגזרת נקבע לפי הגורם השני.

אסימפטוטה $y = 0$

כאשר $x \to - \infty$ : ‏ $e^{x} \to 0$ .

גם $(3 x^{2} - 9) e^{x} \to 0$ – החזקה „מנצחת” את הפולינום. לכן הישר $y = 0$ אסימפטוטה אופקית משמאל.

חיתוך עם ציר $y$

מציבים $x = 0$ וזוכרים: $e^{0} = 1$ .

f (0) = (0 - 9) \cdot e^{0} = - 9

$e$ הוא מספר

$e \approx 2.718$ . בתשובה כותבים ערך מדויק ( $\frac{18}{e ^{3}}$ ) ואז מקורב ( $\approx 0.9$ ).

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354723 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · נגזרות

(e^{x})^{'} = e^{x}

[e^{f (x)}]^{'} = e^{f (x)} \cdot f^{'} (x)

נגזרת של מכפלת פונקציות:

[f (x) \cdot g (x)]^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)

נגזרת של מנת פונקציות:

[\frac{f ( x )}{g ( x )}]^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{[ g ( x ) ] ^{2}}

נוסחאון · אינטגרלים (

m \neq = 0

)

\int e^{x} d x = e^{x} + C

\int e^{m x + b} d x = \frac{e ^{m x + b}}{m} + C

לזכור (לא בנוסחאון):

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

$e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$ ‏(חזקה שלילית – מהנוסחאון: $a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}$ )

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354724 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – חקירה שלב אחרי שלב

תחום הגדרה: $e^{x}$ מוגדר לכל $x$ . בשבר – פוסלים את מה שמאפס את המכנה.
חיתוך: $x = 0$ ← ציר $y$ . ‏ $f (x) = 0$ ← ציר $x$ (רק הגורם שאינו $e$ ).
נגזרת (כלל המכפלה) ← מוציאים $e^{x}$ כגורם משותף.
$f^{'} (x) = 0$ ← טבלת סימנים ← סוג הקיצון, עלייה וירידה.
מציבים ב־ $f$ (לא ב־ $f^{'}$ !) כדי למצוא את ה־ $y$ של הקיצון.
אסימפטוטה וסקיצה; בסוף – שטח באינטגרל.

דוגמה: מוציאים גורם משותף

f^{'} (x) = 6 x \cdot e^{x} + (3 x^{2} - 9) e^{x}

= (3 x^{2} + 6 x - 9) e^{x}

= 3 (x + 3) (x - 1) e^{x}

$e^{x} > 0$ ← $f^{'} = 0$ כאשר $x = - 3$ או $x = 1$ .

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354725 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – מציאת הפרמטר (א)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

נתונה הפונקציה $f (x) = (3 x^{2} - a) e^{x}$ . ל־ $f (x)$ יש נקודת קיצון שבה $x = 1$ . א. מצאו את $a$ .

נגזרים לפי כלל המכפלה:

f^{'} (x) = 6 x \cdot e^{x} + (3 x^{2} - a) e^{x}

f^{'} (x) = (3 x^{2} + 6 x - a) e^{x}

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת: $f^{'} (1) = 0$

(3 + 6 - a) e^{1} = 0

$e^{1} \neq = 0$ , לכן:

9 - a = 0 \Rightarrow a = 9

$a = 9$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354726 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – נקודות קיצון (ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f (x)$ וקבעו את סוגן.

f^{'} (x) = 3 (x + 3) (x - 1) e^{x} = 0

$x = - 3$ או $x = 1$

$x$	$x < - 3$	$- 3$	$- 3 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f^{'}$	+	0	−	0	+
$f$	↗	max	↘	min	↗

מציבים ב־ $f (x) = (3 x^{2} - 9) e^{x}$ :

f (- 3) = (27 - 9) e^{- 3} = \frac{18}{e ^{3}} \approx 0.9

f (1) = (3 - 9) e = - 6 e \approx - 16.31

$max (- 3, \frac{18}{e ^{3}})$

$min (1, - 6 e)$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354727 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – חיתוך וסקיצה (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

חיתוך עם ציר $y$ : ‏ $f (0) = (0 - 9) \cdot e^{0} = - 9$

חיתוך עם ציר $x$ : ‏ $e^{x} > 0$ , לכן

3 x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3

$(0, - 9)$ , ‏ $(\pm 3, 0)$

כאשר $x \to - \infty$ : ‏ $f (x) \to 0$ מלמעלה ← אסימפטוטה $y = 0$ משמאל.

כאשר $x \to \infty$ : ‏ $f (x) \to \infty$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354728 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – הגרף של $∣ f (x) ∣$ (ה)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

ה. נתונה $g (x) = ∣ f (x) ∣$ . ‏(1) זהו את הגרף שלה. (2) מצאו את נקודות הקיצון שלה.

מה שמעל ציר $x$ נשאר.
מה שמתחת לציר $x$ משתקף כלפי מעלה.
המינימום $(1, - 6 e)$ הופך למקסימום $(1, 6 e)$ – שיא גבוה מימין לציר $y$ .
בנקודות החיתוך $g = 0$ – הערך הקטן ביותר של ערך מוחלט ← מינימום.

(1) גרף IV

(2) מקסימום:

(- 3, \frac{18}{e ^{3}}), (1, 6 e)

מינימום:

(- 3, 0), (3, 0)

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354729 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – שיפוע משיק (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד א׳ · שאלה 4

$f (x) = (a - 4 x) \cdot e^{2 x - 1}$ . שיפוע המשיק בנקודה שבה $x = 0$ הוא $\frac{16}{e}$ . מצאו את $a$ .

הנגזרת של $e^{2 x - 1}$ היא $2 e^{2 x - 1}$ :

f^{'} (x) = - 4 e^{2 x - 1} + (a - 4 x) \cdot 2 e^{2 x - 1}

f^{'} (x) = e^{2 x - 1} (2 a - 4 - 8 x)

f^{'} (0) = \frac{2 a - 4}{e} = \frac{16}{e} \Rightarrow a = 10

חיתוך עם הצירים, וקיצון.

f (0) = 10 \cdot e^{- 1} = \frac{10}{e}

10 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 2.5

f^{'} (x) = e^{2 x - 1} (16 - 8 x) = 0 \Rightarrow x = 2

משמאל ל־2: $f^{'} > 0$ , מימין: $f^{'} < 0$ ← מקסימום.

f (2) = (10 - 8) e^{3} = 2 e^{3} \approx 40.17

$max (2, 2 e^{3})$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547210 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – נקודת חיתוך ושטח (ד–ו)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד א׳ · שאלה 4

$g (x) = 4 e^{2 x - 1}$ . ד. הסבירו למה $g (x) > 0$ . ה. מצאו את $A$ – נקודת החיתוך של $f$ ו־ $g$ . ו. חשבו את השטח מתחת ל־ $g$ , בין ציר $y$ לאנך מ־ $A$ .

ד. ‏ $4 > 0$ ו־ $e^{2 x - 1} > 0$ ← המכפלה חיובית.

ה. מחלקים ב־ $e^{2 x - 1} \neq = 0$ :

10 - 4 x = 4 \Rightarrow x = 1.5, g (1.5) = 4 e^{2}

ו.

S = \int_{0}^{1.5} 4 e^{2 x - 1} d x = [2 e^{2 x - 1}]_{0}^{1.5}

S = 2 e^{2} - \frac{2}{e} \approx 14.04

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547211 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

$(e^{2 x - 1})^{'} = 2 e^{2 x - 1}$ – לא שוכחים את הנגזרת הפנימית.
למשוואה $e^{x} = 0$ אין פתרון (התשובה איננה $x = 0$ ).
$e^{0} = 1$ , לא 0.

את ה־ $y$ של הקיצון מציבים ב־ $f$ , לא ב־ $f^{'}$ .
$\int e^{2 x - 1} d x = \frac{1}{2} e^{2 x - 1}$ – מחלקים ב־ $m$ .
אסימפטוטה $y = 0$ רק בצד אחד – בודקים איפה $e^{x} \to 0$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547212 / 13

בס״דפונקציות מעריכיות · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

גזרו: $f (x) = x \cdot e^{x}$ .
מצאו את נקודת הקיצון של $f (x) = x \cdot e^{x}$ וקבעו את סוגה.
פתרו: $(x - 5) \cdot e^{x} = 0$ .
חשבו: $\int_{0}^{1} e^{2 x} d x$ .

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$f^{'} (x) = e^{x} + x \cdot e^{x} = (x + 1) e^{x}$
$x = - 1$ : משמאל $f^{'} < 0$ , מימין $f^{'} > 0$ ←
$min (- 1, - \frac{1}{e})$
$e^{x} > 0$ ← $x - 5 = 0$ ← $x = 5$
$[\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{1} = \frac{e ^{2} - 1}{2} \approx 3.19$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547213 / 13

› לכל המצגות

מצגת הסבר – פונקציות מעריכיות

פונקציות מעריכיות

מה נלמד?

הרעיונות החשובים

ex תמיד חיובי

אסימפטוטה y=0

חיתוך עם ציר y

e הוא מספר

הנוסחאות מהנוסחאון

שיטת הפתרון – חקירה שלב אחרי שלב

דוגמה: מוציאים גורם משותף

שאלת בגרות פתורה – מציאת הפרמטר (א)

שאלת בגרות פתורה – נקודות קיצון (ב)

שאלת בגרות פתורה – חיתוך וסקיצה (ג, ד)

שאלת בגרות פתורה – הגרף של ∣f(x)∣ (ה)

שאלת בגרות פתורה – שיפוע משיק (א, ב)

שאלת בגרות פתורה – נקודת חיתוך ושטח (ד–ו)

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

$e^{x}$ תמיד חיובי

אסימפטוטה $y = 0$

חיתוך עם ציר $y$

$e$ הוא מספר

שאלת בגרות פתורה – הגרף של $∣ f (x) ∣$ (ה)