פונקציות מעריכיות

נגזור לפי כלל המכפלה ${\left(u\cdot v\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

ל־$f(x)$ יש קיצון ב־$x=1$, לכן $f^{\prime }(1)=0$:

מכיוון ש־$e^1\ne 0$:

תשובה: $a=9$

עם $a=9$:

תמיד $e^x>0$, לכן $f^{\prime }(x)=0$ כאשר $x=-3$ או $x=1$.

טבלת סימנים של $f^{\prime }(x)$:

נחשב את ערכי הפונקציה:

תשובה: מקסימום: $\left(-3,\frac{18}{e^3}\right)\approx (-3,0.9)$
מינימום: $(1,-6e)\approx (1,-16.31)$

חיתוך עם ציר ה־$y$ – נציב $x=0$:

חיתוך עם ציר ה־$x$ – נפתור $f(x)=0$. מכיוון ש־$e^x>0$ תמיד:

תשובה: עם ציר ה־$y$: $(0,-9)$
עם ציר ה־$x$: $\left(\sqrt{3},0\right)$ , $\left(-\sqrt{3},0\right)$

נשתמש בכל מה שמצאנו: נקודות קיצון, נקודות חיתוך, ובהתנהגות בקצוות:

כאשר $x\to -\infty$ הביטוי $e^x$ שואף ל־0 מהר יותר משהביטוי $3x^2-9$ גדל, ולכן $f(x)\to 0$ מלמעלה – הישר $y=0$ הוא אסימפטוטה אופקית משמאל. כאשר $x\to \infty$, $f(x)\to \infty$.

תשובה: ראו סקיצה.
אסימפטוטה $y=0$ משמאל, מקסימום $(-3,0.9)$, מינימום $(1,-16.31)$.

הגרף של $g(x)=|f(x)|$ מתקבל מהגרף של $f(x)$: החלקים שמעל ציר ה־$x$ נשארים, והחלקים שמתחת לציר ה־$x$ משתקפים כלפי מעלה.

לכן לגרף של $g(x)$:

• משמאל – גבעה נמוכה (גובה כ־0.9 ב־$x=-3$) ושואף ל־0.

• הגרף פוגש את ציר ה־$x$ ב־$x=-\sqrt{3}\approx -1.73$.

• חיתוך עם ציר ה־$y$ ב־$(0,9)$ ו"גבעה" גבוהה עם שיא ב־$x=1$ (גובה כ־16.31) – מימין לציר ה־$y$.

• הגרף פוגש שוב את ציר ה־$x$ ב־$x=\sqrt{3}$, ואחריו הגרף עולה לאינסוף.

רק בגרף IV השיא הגבוה נמצא מימין לציר ה־$y$ והגבעה הנמוכה משמאל – זה הגרף של $g(x)$.

תשובה: גרף IV.

נקודות הקיצון של $f(x)$ נשארות נקודות מקסימום של $g(x)$ (המינימום $(1,-6e)$ משתקף והופך למקסימום $(1,6e)$).

בנוסף, בנקודות החיתוך עם ציר ה־$x$ הערך של $g(x)$ הוא 0 – זה הערך הקטן ביותר האפשרי של ערך מוחלט, ולכן אלה נקודות מינימום.

תשובה: מקסימום: $\left(-3,\frac{18}{e^3}\right)$ , $(1,6e)$
מינימום: $\left(-\sqrt{3},0\right)$ , $\left(\sqrt{3},0\right)$

נגזור לפי כלל המכפלה (הנגזרת של $e^{2x-1}$ היא $2e^{2x-1}$):

שיפוע המשיק בנקודה $x=0$ הוא $f^{\prime }(0)$:

תשובה: $a=10$

$f(x)=(10-4x)\cdot e^{2x-1}$.

חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$):

חיתוך עם ציר ה־$x$ ($y=0$): $e^{2x-1}>0$ לכל $x$, לכן רק הגורם השני יכול להתאפס:

תשובה: $\left(0,\frac{10}{e}\right)$ ו־$(2.5,0)$

מסעיף א (עם $a=10$):

(למשל $f^{\prime }(0)=16e^{-1}>0$, $f^{\prime }(3)=-8e^5<0$.)

תשובה: $(2,2e^3)$ – נקודת מקסימום

נשתמש בכל מה שמצאנו: חיתוך עם הצירים ב־$\left(0,\frac{10}{e}\right)$ וב־$(2.5,0)$, מקסימום ב־$(2,2e^3)$. משמאל הפונקציה עולה ומתקרבת לציר ה־$x$ (כאשר $x\to -\infty$, $e^{2x-1}\to 0$), ומימין ל־$x=2.5$ היא שלילית ויורדת.

תשובה:

$g(x)=4\cdot e^{2x-1}$ היא מכפלה של המספר החיובי 4 בחזקה $e^{2x-1}$.

חזקה של $e$ חיובית תמיד ($e^t>0$ לכל $t$), ולכן $g(x)>0$ לכל $x$.

תשובה: $4>0$ ו־$e^{2x-1}>0$ לכל $x$, לכן המכפלה חיובית.

נשווה בין שתי הפונקציות:

נחלק ב־$e^{2x-1}$ (שאינו אפס):

תשובה: $A(1.5,4e^2)$

האנך עובר ב־$x=1.5$. השטח נמצא מתחת לגרף $g(x)$ (שהוא חיובי, סעיף ד), בין $x=0$ ל־$x=1.5$:

פונקציה קדומה של $e^{2x-1}$ היא $\frac{1}{2}{e}^{2x-1}$, לכן:

תשובה: $S=2e^2-\frac{2}{e}\approx 14.04$

לפונקציה $f(x)$ יש מינימום אחד ושני מקסימומים, לכן הנגזרת מתאפסת ב־3 נקודות, ובהן משנה סימן כך:

בנקודת מקסימום $f^{\prime }(x)$ עוברת מ־$+$ ל־$-$, ובנקודת מינימום מ־$-$ ל־$+$. בין שני המקסימומים חייב להיות המינימום, ולכן סדר הסימנים של $f^{\prime }(x)$ משמאל לימין הוא:

בגרף I: משמאל הגרף מעל ציר ה־$x$, אחר כך מתחתיו, אחר כך מעליו ובסוף מתחתיו – בדיוק הסדר $+,-,+,-$ (מקסימום, מינימום, מקסימום).

בגרף II הסדר הפוך: $-,+,-,+$ – זה מתאים לשני מינימומים ומקסימום אחד, בניגוד לנתון.

תשובה: גרף I.

חיתוך עם ציר ה־$x$: $f(x)=0$. המכנה $e^{x^2+2}$ תמיד חיובי, לכן מספיק שהמונה יתאפס:

תשובה: $(0,0)$

הפונקציה מוגדרת לכל $x$ (תחום סימטרי), ולכל $x$:

לכן $f(x)$ פונקציה זוגית.

תשובה: $f(-x)=f(x)$ לכל $x$, לכן $f(x)$ זוגית.

נגזור לפי נגזרת של מנה:

נצמצם ב־$e^{x^2+2}$:

$f^{\prime }(x)=0$: המכנה חיובי, לכן $12x(1-x^2)=0$, כלומר $x=0$ או $x=1$ או $x=-1$.

תשובה: $\min (0,0)$, $\max \left(1,\frac{6}{e^3}\right)$, $\max \left(-1,\frac{6}{e^3}\right)$

לפי מה שמצאנו: הגרף עובר בראשית (מינימום), יש שני מקסימומים ב־$x=\pm 1$, הוא סימטרי ביחס לציר ה־$y$ (זוגית), והפונקציה חיובית לכל $x\ne 0$. כאשר $x$ גדל מאוד (או קטן מאוד) הערכים מתקרבים ל־0.

תשובה: ראו סקיצה: מינימום ב־$(0,0)$, מקסימומים ב־$x=\pm 1$, הגרף מעל ציר ה־$x$.

גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$x$ ב־$x=-1,0,1$. השטח הסגור בין הגרף לציר ה־$x$ מורכב משני חלקים: בין $-1$ ל־$0$ (הגרף מתחת לציר) ובין $0$ ל־$1$ (הגרף מעל הציר).

הפונקציה הקדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$, לכן:

תשובה: $\frac{12}{e^3}\approx 0.597$ יחידות שטח

המכנה לא יכול להתאפס:

תשובה: $x\ne \ell n4$

ב־$x=\ell n4$ המכנה מתאפס והמונה $e^{2\ell n4}=16\ne 0$, לכן יש שם אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=\ell n4$

חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$):

חיתוך עם ציר ה־$x$: המונה $e^{2x}$ חיובי תמיד ואף פעם לא מתאפס, לכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$.

תשובה: $\left(0,-\frac{1}{3}\right)$
אין חיתוך עם ציר ה־$x$.

$B$ היא נקודת החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה־$x$, כלומר הפתרון של $f^{\prime }(x)=0$. נגזור לפי כלל המנה:

תשובה: $x_B=\ell n8\approx 2.08$

לפי הסרטוט (ואפשר לבדוק בנגזרת): הנגזרת שלילית משמאל ל־$B$ (בשני צידי האסימפטוטה) וחיובית מימין ל־$B$.

(למשל $f^{\prime }(0)=-\frac{7}{9}<0$, $f^{\prime }(1.6)<0$, $f^{\prime }(3)>0$.)

תשובה: עולה: $x>\ell n8$
יורדת: $x<\ell n4$, $\ell n4<x<\ell n8$.

נקודת המינימום:

כאשר $x\to -\infty$: $e^{2x}\to 0$ והמכנה מתקרב ל־$-4$, לכן הגרף מתקרב לציר ה־$x$ מלמטה. משמאל לאסימפטוטה $x=\ell n4$ הפונקציה שלילית ויורדת, ומימין לה חיובית: יורדת עד המינימום $(\ell n8,16)$ ואחר כך עולה.

תשובה:

השטח מוגבל על ידי גרף $f^{\prime }(x)$, ציר ה־$x$ והישר $x=\ell n12$. גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$x$ ב־$B$ ($x=\ell n8$), ובתחום $\ell n8<x<\ell n12$ הנגזרת חיובית (הגרף מעל ציר ה־$x$).

פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$, לכן:

תשובה: $S=2$

אסימפטוטה אנכית מתקבלת בנקודה שבה המכנה מתאפס (והמונה $e^{2x}$ אף פעם לא מתאפס). לכן המכנה מתאפס ב־$x=2$:

(ואז המכנה הוא $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$, שמתאפס רק ב־$x=2$.)

תשובה: $a=4$

$f(x)=\frac{e^{2x}}{(x-2{)}^2}$. המכנה מתאפס רק ב־$x=2$:

תשובה: כל $x$ פרט ל־$x=2$.

חיתוך עם ציר ה־$y$ ($x=0$):

חיתוך עם ציר ה־$x$: $f(x)=0$ מחייב $e^{2x}=0$ – אין פתרון ($e^{2x}>0$ תמיד). לכן אין נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$.

תשובה: $\left(0,\frac{1}{4}\right)$
אין חיתוך עם ציר ה־$x$.

נגזור לפי נגזרת של מנה:

נוציא גורם משותף $2e^{2x}(x-2)$ ונצמצם ב־$(x-2)$:

$f^{\prime }(x)=0$ רק כאשר $x=3$.

תשובה: $\min (3,e^6)$

לפי מה שמצאנו: הפונקציה חיובית לכל $x$ בתחום, חותכת את ציר ה־$y$ ב־$\left(0,\frac{1}{4}\right)$, עולה עבור $x<2$, יש אסימפטוטה אנכית $x=2$ (משני צדיה הגרף שואף ל־$+\infty$, כי $f(x)>0$), יורדת עד המינימום $(3,e^6)$ ואחר כך עולה. כאשר $x\to -\infty$ הגרף מתקרב לציר ה־$x$.

תשובה: ראו סקיצה.

נקודות החיתוך של $h(x)$ עם ציר ה־$x$ מקיימות $h(x)=0$:

כלומר צריך לספור כמה פעמים הגרף של $f(x)$ חותך את הישר $y=e^8$. לפי הסקיצה:

• עבור $x<2$: $f$ עולה מערכים הקרובים ל־0 עד $+\infty$ – פגישה אחת.

• עבור $2<x<3$: $f$ יורדת מ־$+\infty$ עד $e^6$, ו־$e^6<e^8$ – פגישה אחת.

• עבור $x>3$: $f$ עולה מ־$e^6$ עד $+\infty$ – פגישה אחת.

תשובה: 3 נקודות חיתוך.

ל־$f(x)$ יש נקודת מקסימום ב־$x$ חיובי. בנקודת מקסימום הנגזרת מתאפסת ועוברת מחיובית לשלילית. לכן גרף הנגזרת צריך לחתוך את ציר ה־$x$ בנקודה חיובית, ולעבור שם מעל ציר ה־$x$ אל מתחת לציר.

גרף I: בנקודת החיתוך החיובית הגרף עובר מחיובי לשלילי – מקסימום של $f$ ב־$x$ חיובי. בנקודת החיתוך השלילית הוא עובר משלילי לחיובי – זה מינימום. יש מקסימום אחד בלבד. ✓

גרף II: בנקודת החיתוך החיובית הגרף עובר משלילי לחיובי – זה מינימום. המקסימום היחיד נמצא ב־$x$ שלילי. ✗

תשובה: גרף I

$e^{-2x+1}>0$ לכל $x$, לכן:

תשובה: $(\sqrt{2},0)$, $(-\sqrt{2},0)$

נגזור לפי כלל המכפלה (הנגזרת של $e^{-2x+1}$ היא $-2e^{-2x+1}$):

(למשל $f^{\prime }(0)=4e>0$, $f^{\prime }(-2)<0$, $f^{\prime }(3)<0$ – מתאים לגרף I.)

תשובה: מינימום $(-1,-e^3)$, מקסימום $\left(2,\frac{2}{e^3}\right)$

חיתוך עם ציר ה־$y$: $f(0)=-2e$. כאשר $x\to \infty$ הגרף מתקרב לציר ה־$x$ מלמעלה, וכאשר $x\to -\infty$ הגרף עולה מאוד.

הסקיצה אינה בקנה מידה (המקסימום $\frac{2}{e^3}\approx 0.1$ קרוב מאוד לציר ה־$x$, והמינימום $-e^3\approx -20.1$ רחוק ממנו):

תשובה:

$g(x)=7\cdot e^{-2x+1}$: המספר 7 חיובי, וחזקה של $e$ חיובית תמיד. מכפלה של שני מספרים חיוביים היא חיובית, לכן $g(x)>0$ לכל $x$.

תשובה: $7>0$ ו־$e^{-2x+1}>0$ לכל $x$.

נחלק ב־$e^{-2x+1}$ (שאינו אפס):

תשובה: $(-3,7e^7)$, $\left(3,\frac{7}{e^5}\right)$

האנכים הם $x=-3$ ו־$x=3$, והגרף של $g$ נמצא מעל ציר ה־$x$ (סעיף ד (1)). פונקציה קדומה של $e^{-2x+1}$ היא $-\frac{1}{2}{e}^{-2x+1}$:

תשובה: $S=3.5e^7-\frac{3.5}{e^5}\approx 3838.19$

המכנה $x^2$ מתאפס ב־$x=0$ (והמונה מוגדר לכל $x$):

תשובה: כל $x$ פרט ל־$x=0$ ($x\ne 0$).

המכנה מתאפס ב־$x=0$, והמונה $e^{ax-1}$ אף פעם לא מתאפס. לכן ב־$x=0$ יש אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=0$

המונה $e^{ax-1}$ חיובי לכל $x$ (חזקה של $e$ תמיד חיובית), והמכנה $x^2$ חיובי לכל $x\ne 0$. מנה של שני מספרים חיוביים – חיובית.

תשובה: מונה $e^{ax-1}>0$ ומכנה $x^2>0$, לכן $f(x)>0$ בכל התחום.

נציב את הנקודה $\left(-1,\frac{1}{e^3}\right)$:

תשובה: $a=2$

עם $a=2$: $f(x)=\frac{e^{2x-1}}{x^2}$. נגזור לפי נגזרת של מנה:

$f^{\prime }(x)=0$ רק כאשר $x=1$.

תשובה: $\min (1,e)$

לפי מה שמצאנו: $f(x)>0$ לכל $x$, אסימפטוטה אנכית $x=0$ (משני צדיה הגרף שואף ל־$+\infty$), עלייה עבור $x<0$ (כאשר $x\to -\infty$ הגרף מתקרב לציר ה־$x$), ירידה עבור $0<x<1$, מינימום ב־$(1,e)$ ואחר כך עלייה.

תשובה: ראו סקיצה.

נקודה משותפת ל־$g(x)$ ולישר $y=-2e$ מקיימת:

כלומר צריך שהישר האופקי $y=-2e-k$ יחתוך את הגרף של $f(x)$ בדיוק בשתי נקודות. לפי הסקיצה:

• הענף השמאלי ($x<0$) מקבל כל ערך חיובי פעם אחת.

• הענף הימני ($x>0$) מקבל כל ערך הגדול מ־$e$ פעמיים, את הערך $e$ פעם אחת (במינימום), וערכים קטנים מ־$e$ אף פעם.

לכן יש בדיוק שתי נקודות משותפות רק כאשר הישר עובר דרך נקודת המינימום, כלומר $-2e-k=e$:

(עבור $0<-2e-k<e$ יש נקודה אחת, ועבור $-2e-k>e$ יש שלוש.)

תשובה: $k=-3e$

תשובה: $x\ne \ell n3$

ב־$x=\ell n3$ המכנה מתאפס והמונה $e^{2\ell n3}=9\ne 0$, לכן זו אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=\ell n3$

חיתוך עם ציר ה־$y$:

חיתוך עם ציר ה־$x$: המונה $e^{2x}>0$ לכל $x$, לכן אין.

תשובה: $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$
אין חיתוך עם ציר ה־$x$.

נגזור לפי כלל המנה:

תשובה: $(\ell n6,12)$ – מינימום

המכנה $(e^x-3{)}^2$ והגורם $e^{2x}$ חיוביים, לכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ הוא הסימן של $e^x-6$:

תשובה: עולה: $x>\ell n6$
יורדת: $x<\ell n3$, $\ell n3<x<\ell n6$.

כאשר $x\to -\infty$ המונה מתקרב ל־0 והמכנה ל־$-3$, לכן הגרף מתקרב לציר ה־$x$ מלמטה. משמאל לאסימפטוטה $x=\ell n3$ הפונקציה שלילית ויורדת; מימין לה חיובית – יורדת עד המינימום $(\ell n6,12)$ ואחר כך עולה.

תשובה:

$g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(x)$, לכן $g^{\prime }(x)=0$ באותה נקודה $x=\ell n6$, וסימני הנגזרת מתהפכים: $g$ עולה כאשר $f$ יורדת ולהפך. המינימום של $f$ הופך למקסימום של $g$.

תשובה: $(\ell n6,3)$ – מקסימום

נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$: $g(x)=0$, כלומר $f(x)=15$.

• בתחום $x<\ell n3$ הפונקציה $f$ שלילית, לכן אין שם פתרון.
• בתחום $x>\ell n3$: $f$ יורדת מאינסוף עד 12 ואחר כך עולה לאינסוף. מכיוון ש־$15>12$, הישר $y=15$ חותך את הגרף פעמיים – פעם בירידה ופעם בעלייה.

(או: ל־$g$ מקסימום $3>0$ מימין לאסימפטוטה, ומשני צדי המקסימום $g$ יורדת למינוס אינסוף – לכן היא חותכת את ציר ה־$x$ פעמיים.)

תשובה: שתי נקודות חיתוך

בנקודות הקיצון של $f(x)$ הנגזרת מתאפסת ומשנה סימן.

לגרף II (המקווקו) יש מקסימום ומינימום (המינימום על ציר ה־$x$). בדיוק מתחת למקסימום של II גרף I חותך את ציר ה־$x$, ובמינימום של II גרף I חותך שוב את ציר ה־$x$.

בין שתי הנקודות האלה גרף II יורד וגרף I שלילי; מחוץ להן גרף II עולה וגרף I חיובי. לכן I הוא גרף הנגזרת.

(להפך זה לא מתאים: לגרף I יש מינימום, אבל במקום הזה גרף II לא חותך את ציר ה־$x$.)

תשובה: גרף I.

$(x-4{)}^2$ ו־$e^{x-3}$ מוגדרים לכל $x$.

תשובה: כל $x$.

חיתוך עם ציר ה־$y$:

חיתוך עם ציר ה־$x$: $e^{x-3}>0$ תמיד, לכן:

תשובה: $\left(0,\frac{16}{e^3}\right)$, $(4,0)$