בגרות חורף תשפ״ד (2024)

שני תנאים: $\ell n(x)$ מוגדר רק עבור $x>0$, והמכנה לא יכול להיות 0:

תשובה: $x>0$, $x\ne e^{-\frac{1}{2}}$

$f(x)=0$ רק כאשר המונה מתאפס: $3x^2=0$, כלומר $x=0$. אבל $x=0$ אינו בתחום ההגדרה ($x>0$). לכן הגרף אינו חותך את ציר ה־$x$.

תשובה: לא – המונה מתאפס רק ב־$x=0$, שאינו בתחום.

המכנה מתאפס ב־$x=e^{-\frac{1}{2}}$, והמונה שם שונה מאפס ($3e^{-1}\ne 0$), לכן זו אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=e^{-\frac{1}{2}}\approx 0.61$

נגזור לפי נגזרת של מנה:

$f^{\prime }(x)=0$: $x>0$, לכן $\ell nx=0$, כלומר $x=1$.

המכנה של $f^{\prime }(x)$ חיובי, ו־$12x>0$, לכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ הוא הסימן של $\ell nx$: שלילי עבור $x<1$ וחיובי עבור $x>1$ – נקודת מינימום.

תשובה: $\min (1,3)$

תשובה: עלייה: $x>1$
ירידה: $0<x<e^{-\frac{1}{2}}$ וגם $e^{-\frac{1}{2}}<x<1$.

נבדוק את הסימן של $f(x)$ משמאל לאסימפטוטה: עבור $0<x<e^{-\frac{1}{2}}$ מתקיים $\ell nx<-\frac{1}{2}$, לכן המכנה $2\ell nx+1$ שלילי והמונה חיובי – $f(x)<0$. בנוסף הפונקציה יורדת שם (סעיף ג).

מימין לאסימפטוטה $f(x)>0$, הפונקציה יורדת עד המינימום $(1,3)$ ואחר כך עולה.

גרף III מתאים: הענף השמאלי יורד מתחת לציר ה־$x$ (עיגול ריק בראשית), והענף הימני מעל ציר ה־$x$ עם מינימום. (בגרף I הענף הימני מתחת לציר, בגרף II הענף השמאלי עולה, ובגרף IV הענף הימני שלילי.)

תשובה: גרף III.

ישר מהצורה $y=t$ הוא ישר אופקי. ישר אופקי משיק לגרף בנקודת הקיצון, כלומר בנקודת המינימום $(1,3)$. לכן $t=3$, והישר $y=t-5$ הוא:

לפי הגרף (סעיף ד): מימין לאסימפטוטה $f(x)\ge 3$, ולכן הישר $y=-2$ לא פוגש שם את הגרף. משמאל לאסימפטוטה הפונקציה יורדת מערכים הקרובים ל־0 (ליד הראשית) עד $-\infty$, ולכן מקבלת את הערך $-2$ פעם אחת בדיוק.

(אין צורך למצוא את נקודת החיתוך עצמה – המשוואה אינה נפתרת אלגברית, ופתרון מקורב במחשבון אינו דרך מותרת.)

תשובה: כן, בנקודה אחת.