גאומטרייה במרחב (וקטורים)

בבסיס הריבועי $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ו־$\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}=\underline{v}$, לכן:

כדי להגיע מ־F ל־E נעבור דרך B ו־A׳ (F אמצע BC, לכן $\overrightarrow{FB}=-\frac{1}{2}\underline{v}$):

תשובה: $\overrightarrow{A^{\prime }E}=\frac{3}{4}\underline{u}+\frac{3}{4}\underline{v}$
$\overrightarrow{FE}=-\frac{1}{4}\underline{u}+\frac{1}{4}\underline{v}+\underline{w}$

הבסיס ריבוע שאורך צלעו 4, לכן $\underline{u}\perp \underline{v}$ ו־$|\underline{u}|=|\underline{v}|=4$, כלומר $\underline{u}\cdot \underline{v}=0$.

תשובה: $|\overrightarrow{A^{\prime }E}|=3\sqrt{2}\approx 4.24$

בתיבה כל המקצועות היוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה: $\underline{u}\cdot \underline{v}=\underline{u}\cdot \underline{w}=\underline{v}\cdot \underline{w}=0$. נסמן את אורך המקצוע הצדדי $|\underline{w}|=h$.

נתון $|\overrightarrow{FE}|=|\overrightarrow{A^{\prime }E}|=3\sqrt{2}$, ולכן:

גם המקצוע הצדדי שווה ל־4, כלומר כל המקצועות של התיבה שווים – התיבה היא קובייה.

תשובה: אורך המקצוע הצדדי הוא 4, כמו מקצוע הבסיס – לכן התיבה היא קובייה.

נחשב את המכפלה הסקלרית (המכפלות של וקטורים מאונכים שוות ל־0):

המכפלה הסקלרית שווה ל־0, לכן $\overrightarrow{FE}$ מאונך ל־$\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

תשובה: $\overrightarrow{FE}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=0$ , ולכן הווקטורים מאונכים.

הנקודה E נמצאת על הצלע A׳C׳ של המשולש A׳FC׳, ו־FE מאונך ל־A׳C׳ (סעיף ד (1)). לכן FE הוא הגובה לצלע A׳C׳.

תשובה: השטח הוא 12 יח״ר.

נעבור בדרכים לאורך המקצועות (חיבור וקטורים):

הנקודה $E$ היא אמצע $BS$, לכן נעבור מ־$A$ ל־$B$ ומשם חצי מ־$\overrightarrow{BS}$:

לפי הנתון $BF=\frac{2}{3}BC$, ולכן:

תשובה: $\overrightarrow{BC}=-\underline{u}+\underline{v}$, $\overrightarrow{BS}=-\underline{u}+\underline{w}$, $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{w}$, $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{v}$

$AS$ מאונך למישור הבסיס, לכן $AS$ הוא גובה הפירמידה: $h=|\underline{w}|=8$.

שטח הבסיס – המשולש $ABC$ (שתי צלעות והזווית שביניהן):

נפח הפירמידה:

תשובה: $V=24\sqrt{3}\approx 41.57$ יחידות נפח

הזווית בין $\underline{u}$ ל־$\underline{v}$ היא $\sphericalangle BAC=120^{\circ }$:

תשובה: $\underline{u}\cdot \underline{v}=-18$

$AS$ מאונך למישור הבסיס, ולכן מאונך לכל ישר במישור זה. מכאן $\underline{w}\cdot \underline{u}=0$ וגם $\underline{w}\cdot \underline{v}=0$.

כמו כן $\underline{u}\cdot \underline{u}=|\underline{u}{|}^2=36$ (ומסעיף ג (1) $\underline{u}\cdot \underline{v}=-18$).

נחשב את המכפלה הסקלרית:

המכפלה הסקלרית שווה ל־0 (והווקטורים אינם וקטורי אפס), לכן $\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־$\overrightarrow{AF}$.

תשובה: $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=0$, לכן הם מאונכים.

תשובה: $|\overrightarrow{AF}|=2\sqrt{3}\approx 3.46$

מסעיף ג (2) המשולש $EAF$ ישר־זווית ב־$A$, ולכן שטחו הוא חצי מכפלת הניצבים $AE$ ו־$AF$.

נחשב את $AE$ (נזכור ש־$\underline{u}\cdot \underline{w}=0$):

תשובה: $S_{EAF}=5\sqrt{3}\approx 8.66$ יחידות שטח

במנסרה ישרה המקצועות הצדדיים שווים ומקבילים, ולכן $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\underline{w}$. הבסיס העליון חופף ומקביל לבסיס $ABCD$ (מקבילית), ולכן $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ו־$\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}=\underline{v}$.

נלך מ־$C$ ל־$M$ דרך $C^{\prime }$. $M$ אמצע $C^{\prime }{D}^{\prime }$, לכן $\overrightarrow{C^{\prime }M}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=-\frac{1}{2}\underline{u}$.

נלך מ־$P$ ל־$M$ דרך $A^{\prime }$ ו־$D^{\prime }$: $\overrightarrow{P{A}^{\prime }}=\frac{1}{4}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{4}\underline{w}$ (כי $AP=\frac{3}{4}A{A}^{\prime }$), $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}=\underline{v}$, $\overrightarrow{D^{\prime }M}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\underline{u}$.

תשובה: $\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{w}$, $\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\underline{u}+\underline{v}+\frac{1}{4}\underline{w}$

המנסרה ישרה, לכן המקצוע הצדדי $A{A}^{\prime }$ מאונך למישור הבסיס, ובפרט ל־$AB$ ול־$AD$. וקטורים מאונכים – המכפלה הסקלרית שלהם 0:

הזווית בין $\underline{u}$ ל־$\underline{v}$ היא $\angle DAB=60^{\circ }$:

תשובה: $\underline{u}\cdot \underline{v}=40$, $\underline{v}\cdot \underline{w}=0$, $\underline{u}\cdot \underline{w}=0$

נפח מנסרה = שטח הבסיס · גובה. הבסיס $ABCD$ מקבילית, ושטחה:

המנסרה ישרה, לכן הגובה הוא אורך המקצוע הצדדי $|\underline{w}|$:

תשובה: $|\underline{w}|=12$

נחשב את המכפלה הסקלרית בעזרת הביטויים מסעיף א והערכים מסעיפים ב, ג:

נפתח סוגריים:

המכפלה הסקלרית שווה 0, ולכן $\overrightarrow{PM}$ מאונך ל־$\overrightarrow{CM}$.

תשובה: $\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{CM}=0$, לכן הם מאונכים.

לפי $|\underline{a}|=\sqrt{\underline{a}\cdot \underline{a}}$:

לכן $|\overrightarrow{PM}|=\sqrt{165}$, כנדרש.

תשובה: $|\overrightarrow{PM}|=\sqrt{165}$ (הוכחה)

לפי סעיף ד, $PM\perp CM$, כלומר המשולש $PMC$ ישר־זווית ב־$M$, ושטחו חצי מכפלת הניצבים.

נחשב את אורך $CM$:

תשובה: $10\sqrt{66}\approx 81.24$ יחידות שטח

לפי הנתון $\overrightarrow{SF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{SC}$ ו־$\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}=-\underline{w}+\underline{v}$, לכן:

באותו אופן $\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}=-\underline{w}+\underline{u}$, לכן:

תשובה: $\overrightarrow{BC}=-\underline{u}+\underline{v}$, $\overrightarrow{SF}=\frac{3}{4}\underline{v}-\frac{3}{4}\underline{w}$, $\overrightarrow{SE}=\frac{3}{4}\underline{u}-\frac{3}{4}\underline{w}$

נעבור מ־$E$ ל־$S$ ומשם ל־$F$:

תשובה: $\overrightarrow{EF}=-\frac{3}{4}\underline{u}+\frac{3}{4}\underline{v}$

מסעיפים א ו־ב (1):

הווקטור $\overrightarrow{EF}$ הוא כפולה של הווקטור $\overrightarrow{BC}$ במספר, ולכן הם באותו כיוון, כלומר $EF\parallel BC$ (הישרים אינם מתלכדים, כי $E$ אינה על $BC$).

תשובה: $\overrightarrow{EF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ – כפולה במספר, לכן מקבילים.

מסעיף ב (2):

תשובה: $\overrightarrow{BC}=(12,16,0)$, $\overrightarrow{EF}=(9,12,0)$

תשובה: $F(14,13,6)$

הזווית $EAF$ היא הזווית בין הווקטורים $\overrightarrow{AE}$ ו־$\overrightarrow{AF}$:

תשובה: $\sphericalangle EAF\approx 86.18^{\circ }$

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן:

תשובה: $S_{EAF}\approx 59.89$ יחידות שטח

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\underline{u}+\underline{v}$

$D$ אמצע $BC$, לכן $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$:

ומכאן:

$M$ על $ED$ ו־$\overrightarrow{EM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{ED}$:

תשובה: $\overrightarrow{BC}=-\underline{u}+\underline{v}$, $\overrightarrow{ED}=\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\underline{w}$, $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\underline{u}+\frac{1}{3}\underline{v}+\frac{1}{3}\underline{w}$

$\angle BAC=90^{\circ }$, ולכן $\underline{u}\cdot \underline{v}=0$. $AE$ גובה הפירמידה, ולכן הוא מאונך לבסיס $ABC$ ובפרט ל־$AB$ ול־$AC$: $\underline{u}\cdot \underline{w}=0$, $\underline{v}\cdot \underline{w}=0$.

כמו כן $|\underline{u}{|}^2=|\underline{v}{|}^2=|\underline{w}{|}^2=144$.

כל המכפלות של שני וקטורים שונים מתאפסות, ונשארות רק הריבועים:

המכפלה הסקלרית 0, לכן $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{ED}$.

תשובה: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{ED}=0$, לכן הם מאונכים.

נבדוק שגם $\overrightarrow{AM}$ מאונך ל־$\overrightarrow{BC}$:

הישרים $ED$ ו־$BC$ נמצאים במישור $BEC$ ונחתכים (בנקודה $D$). ישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור. לכן $\overrightarrow{AM}$ מאונך למישור $BEC$.

תשובה: $\overrightarrow{AM}$ מאונך ל־$ED$ ול־$BC$ (נחתכים במישור), לכן מאונך למישור $BEC$.

אורכי $AB$, $AC$, $AE$ הם 12, והם נמצאים על החלקים החיוביים של הצירים $x$, $y$, $z$ בהתאמה:

תשובה: $B(12,0,0)$, $C(0,12,0)$, $E(0,0,12)$

$D$ אמצע $BC$:

לפי סעיף א, $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}(\underline{u}+\underline{v}+\underline{w})$, ו־$A$ בראשית:

תשובה: $D(6,6,0)$, $M(4,4,4)$

הנקודות $M$ ו־$D$ נמצאות על הישר $ED$, ולפי סעיף ב (1) $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{ED}$. לכן המשולש $AMD$ ישר־זווית ב־$M$.

תשובה: $12\sqrt{2}\approx 16.97$ יחידות שטח

בתיבה $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\underline{v}$ ו־$\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\underline{w}$. לפי הנתון $\overrightarrow{DP}=\frac{1}{3}\underline{w}$:

$M$ היא מפגש האלכסונים במלבן $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, ולכן אמצע האלכסון $B{C}^{\prime }$:

תשובה: $\overrightarrow{AP}=\underline{v}+\frac{1}{3}\underline{w}$, $\overrightarrow{MP}=-\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\frac{1}{6}\underline{w}$

בתיבה המקצועות היוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה, לכן $\underline{u}\cdot \underline{v}=\underline{u}\cdot \underline{w}=\underline{v}\cdot \underline{w}=0$.

כמו כן ${\underline{v}}^2=36$ ו־${\underline{w}}^2=324$.

(כל שאר המכפלות שוות ל־0.) המכפלה הסקלרית היא 0, ולכן $\overrightarrow{MP}\perp \overrightarrow{AP}$.

תשובה: $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{MP}=0$, לכן הווקטורים מאונכים.

מסעיף ב (1) המשולש $APM$ ישר־זווית ב־$P$, לכן שטחו חצי מכפלת הניצבים $AP$ ו־$MP$.

תשובה: $S_{APM}=18\sqrt{19}\approx 78.46$

$DA=BC=6$, $DC=AB=18$, $D{D}^{\prime }=A{A}^{\prime }=18$. לפי מיקום הקודקודים על הצירים:

הקודקוד $B$ מתקבל מ־$A$ בתזוזה של 18 בכיוון ציר ה־$y$, והקודקוד $C^{\prime }$ מ־$C$ בתזוזה של 18 בכיוון ציר ה־$z$:

תשובה: $C(0,18,0)$, $B(6,18,0)$, $C^{\prime }(0,18,18)$

$M$ אמצע הקטע $B{C}^{\prime }$:

תשובה: $M(3,18,9)$