בגרות חורף נבצרים תשפ״ב (2022)

נקודת קיצון של $f(x)$ יכולה להיות רק במקום שבו $f^{\prime }(x)=0$. לפי הסרטוט, הגרף של $f^{\prime }(x)$ חותך את ציר ה־$x$ רק בנקודה $(a,0)$.

מהסרטוט: משמאל ל־$a$ (בין האסימפטוטה $x=-2$ לבין $a$) הגרף של $f^{\prime }(x)$ מתחת לציר ה־$x$, כלומר $f^{\prime }(x)<0$ ו־$f(x)$ יורדת. מימין ל־$a$ הגרף מעל ציר ה־$x$, כלומר $f^{\prime }(x)>0$ ו־$f(x)$ עולה.

מעבר מירידה לעלייה – נקודת מינימום.

תשובה: $x=a$, נקודת מינימום.

נגזור לפי כלל המנה ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$:

תמיד $e^{2x}>0$ ו־$(x+2{)}^2>0$ בתחום, לכן $f^{\prime }(x)=0$ רק כאשר:

לפי סעיף א זו נקודת מינימום, ו־$a=-1.5$.

תשובה: מינימום: $\left(-1.5,\frac{2}{e^3}\right)\approx (-1.5,0.1)$
$a=-1.5$

הסימן של $f^{\prime }(x)$ נקבע לפי $2x+3$ (שאר הגורמים חיוביים), ובהתאם לסרטוט של $f^{\prime }(x)$:

תשובה: עלייה: $x>-1.5$
ירידה: $x<-2$ או $-2<x<-1.5$

חיתוך עם ציר ה־$y$ – נציב $x=0$:

חיתוך עם ציר ה־$x$ – צריך $f(x)=0$, כלומר המונה $e^{2x}=0$. אבל $e^{2x}>0$ לכל $x$, ולכן אין נקודת חיתוך עם ציר ה־$x$.

תשובה: עם ציר ה־$y$: $(0,0.5)$
עם ציר ה־$x$: אין.

המכנה $x+2$ מתאפס ב־$x=-2$, והמונה שם שונה מאפס ($e^{-4}\ne 0$). לכן כאשר $x\to -2$ הפונקציה שואפת לאינסוף (או למינוס אינסוף), והישר $x=-2$ הוא אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=-2$

נשתמש במה שמצאנו: אסימפטוטה $x=-2$, מינימום $\left(-1.5,\frac{2}{e^3}\right)$, חיתוך $(0,0.5)$, ותחומי עלייה וירידה.

בדיקות נוספות: כאשר $x\to -\infty$, $e^{2x}\to 0$ והמכנה שלילי, לכן $f(x)\to 0$ מלמטה (למשל $f(-5)\approx -1.5\cdot 10^{-5}$) – הישר $y=0$ הוא אסימפטוטה אופקית משמאל. כאשר $x\to \infty$, $f(x)\to \infty$ (למשל $f(5)\approx 3146$).

משמאל ל־$x=-2$ הפונקציה שלילית ויורדת ל־$-\infty$; מימין ל־$x=-2$ היא חיובית.

תשובה: ראו סקיצה.

הגרף של $f^{\prime }(x)$ חותך את ציר ה־$x$ ב־$x=-1.5$, ובקטע $-1.5\le x\le 0$ הוא מעל ציר ה־$x$. לכן השטח המבוקש:

$f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$:

תשובה: $S=\frac{1}{2}-\frac{2}{e^3}\approx 0.4$