סטטיסטיקה ורגרסיה

שתי תכונות של ישר הרגרסיה:

• הוא עובר תמיד בנקודת הממוצעים $(\bar{x},\bar{y})=(10,70)$.
• סימן השיפוע שלו הוא סימן מקדם המתאם. כאן $r<0$, לכן השיפוע שלילי.

משוואות 1 ו־2 – שיפוע חיובי, נפסלות. נבדוק את 3 ו־4 בנקודה $x=10$:

רק משוואה 4 עוברת בנקודת הממוצעים ושיפועה שלילי.

תשובה: משוואה 4: $y=-2x+90$

שיפוע ישר הרגרסיה הוא $m=r\cdot \frac{S_y}{S_x}$. מסעיף א, $m=-2$:

תשובה: $r=-0.8$

נציב $y=80$ במשוואת הרגרסיה:

תשובה: 5 היעדרויות

לכל מספר של היעדרויות הישר מנבא אותו ציון, 65. כלומר משוואת ישר הרגרסיה היא $y=65$ – ישר אופקי, ושיפועו 0.

תשובה: $m=0$

ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים $(\bar{x},\bar{y})$. הישר הוא $y=65$, ולכן ערך ה־$y$ של כל נקודה עליו – ובפרט של נקודת הממוצעים – הוא 65:

תשובה: $\bar{y}=65$

לא. הישר $y=65$ עובר בנקודה $(\bar{x},65)$ בעבור כל ערך של $\bar{x}$, כך שהנקודה הזאת לא קובעת את $\bar{x}$.

גם משוואת השיפוע לא עוזרת: $0=r\cdot \frac{S_y}{S_x}$ נותנת רק $r=0$ (אין קשר לינארי בין המשתנים), ואין בה מידע על הממוצע של $x$.

תשובה: לא – הישר $y=65$ אופקי ועובר ב־$(\bar{x},65)$ לכל $\bar{x}$.

שיפוע ישר הרגרסיה של y על x (לפי הנוסחאון):

נתון $r=0.8$, לכן:

תשובה: $m=0.8\cdot \frac{S_y}{S_x}$

נתון $S_y<S_x$, ושתי סטיות התקן חיוביות, לכן:

נכפול ב־0.8:

כלומר $m<0.8$, ובפרט $m<1$.

תשובה: השיפוע קטן מ־1 (כי $m<0.8$).

ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים $(\bar{x},\bar{y})$. נציב $\bar{x}=80$:

ממוצע המשקל של 4 השזיפים הוא 75 גרם, לכן סכום המשקלים:

נסמן ב־$y_4$ את משקל שזיף ד:

תשובה: המשקל של שזיף ד: 80 גרם

המשקלים: 70, 70, 80, 80, והממוצע $\bar{y}=75$.

תשובה: $S_y=5$ גרם

מישר הרגרסיה $y=\frac{3}{4}x+15$ השיפוע הוא $m=\frac{3}{4}$. לפי סעיף א (1), ועם $S_y=5$ מסעיף ב (2):

(בדיקה: $S_y=5<S_x=5\frac{1}{3}$, כנתון.)

תשובה: $S_x=5\frac{1}{3}\approx 5.33$ מילימטר

לא. בדיאגרמה יש תלמיד שקיבל 50 על העבודה ו־85 בציון הסופי, ותלמיד אחר שקיבל 65 על העבודה (יותר) אבל רק 60 בציון הסופי (פחות).

הדיאגרמה מראה מגמה כללית של קשר חיובי, אבל לא כלל שמתקיים לכל זוג תלמידים.

תשובה: לא
למשל: תלמיד עם 50 על העבודה קיבל 85 בציון הסופי, ותלמיד עם 65 קיבל רק 60.

נפסול את מה שלא מתאים:

• $1.6$ – מקדם המתאם תמיד בין $-1$ ל־$1$, לכן לא ייתכן.

• $-0.8$ – הקשר בדיאגרמה חיובי (ככל ש־$X$ גדל, $Y$ נוטה לגדול), לכן המקדם חיובי.

• $0$ – יש מגמה ברורה, לכן הקשר אינו אפסי.

• $0.999$ – קשר כמעט מושלם, כלומר כל הנקודות כמעט על ישר אחד – אבל הנקודות פזורות למדי.

לכן מקדם המתאם הוא $0.675$ – קשר חיובי בינוני.

תשובה: $r=0.675$

שיפוע ישר הרגרסיה של $Y$ על פי $X$:

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(\bar{x},\bar{y})=(71,75)$:

שימו לב: בפתרון של גבע מעגלים קודם את השיפוע ל־$0.41$ ומקבלים $y=0.41x+45.89$. ההבדל נובע רק מהעיגול.

תשובה: $y=0.411x+45.83$ (בעיגול השיפוע ל־0.41: $y=0.41x+45.89$)

לא. כל הציונים הסופיים עלו באותו מספר נקודות (5), ולכן כל הנקודות זזות יחד, הממוצע עולה ב־5 והמרחק של כל ציון מהממוצע לא משתנה.

סטיית התקן מודדת את הפיזור סביב הממוצע, ולכן היא לא משתנה: $S_y=14$.

תשובה: לא, $S_y$ נשארת 14.

אחרי ההעלאה: $\bar{y}=80$, ו־$S_y$, $S_x$, $\bar{x}$ לא משתנים. גם מקדם המתאם $r$ לא משתנה (הוספת קבוע לכל הציונים לא משנה את צורת הפיזור).

לכן השיפוע $m=r\cdot \frac{S_y}{S_x}$ לא משתנה – הישר החדש מקביל לישר הישן, ומוזז 5 יחידות כלפי מעלה:

בגרף II הקו המקווקו מקביל לקו המלא ונמצא מעליו (בהפרש קבוע של 5). בגרפים I ו־III הקווים אינם מקבילים.

תשובה: גרף II – השיפוע לא משתנה, הישר מוזז 5 יחידות למעלה.

ישר רגרסיה תמיד עובר דרך נקודת הממוצעים. אחרי ההעלאה נקודת הממוצעים היא $(71,80)$.

לכן לתלמיד שקיבל 71 על העבודה (בדיוק הממוצע), הנקודה תהיה על הישר אם הציון הסופי שלו הוא 80. (בדיקה: $0.411\cdot 71+50.83\approx 80$.)

תשובה: 80

ממוצע הצריכה לפני הקורס:

ממוצע הצריכה אחרי שבוע:

תשובה: לפני הקורס: 23 סיגריות ביום
אחרי שבוע: 20 סיגריות ביום.

כל משתתף הוא נקודה $(x,y)$: $(5,3)$, $(15,10)$, $(20,19)$, $(22,20)$, $(22,22)$, $(25,22)$, $(28,24)$, $(30,30)$, $(40,30)$.

תשובה: ראו דיאגרמה.

הנקודות בדיאגרמה מסודרות במגמה עולה ברורה וקרובות לישר, אבל לא כולן על ישר אחד בדיוק.

• $r=1$ – כל הנקודות על ישר אחד, וזה לא המצב.

• $r=-0.633$ – קשר שלילי, אבל המגמה עולה.

• $r=0.212$ – קשר חיובי חלש מאוד, אבל הנקודות קרובות מאוד לישר.

לכן $r=0.949$ – קשר חיובי חזק.

תשובה: $r=0.949$

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(\bar{x},\bar{y})=(23,20)$:

תשובה: $y=0.85x+0.45$

נציב $x=21$ במשוואת הרגרסיה:

תשובה: כ־18.3 סיגריות ביום (כ־18).

בטבלה, כאשר ההוצאה על פרסום ($X$) גדלה, ההכנסות ($Y$) גדלות בדרך כלל: 180, 200, 300, 450, 400, 510. זה קשר חיובי – הנקודות עולות משמאל לימין.

בדיאגרמה 1 הנקודות עולות, ובדיאגרמה 2 הן יורדות. לכן דיאגרמה 1 מתארת את הקשר.

תשובה: דיאגרמה 1 – הקשר חיובי (כש־X גדל, Y גדל בדרך כלל).

• הקשר חיובי (סעיף א), לכן $r>0$: נפסלים $r=-0.7$ ו־$r=-0.9$.
• $r=1$ פירושו שכל הנקודות נמצאות בדיוק על ישר אחד. זה לא המצב: למשל כאשר $X$ עולה מ־24 ל־28, $Y$ יורד מ־450 ל־400.

לכן $r=0.9$ – קשר חיובי חזק אך לא מושלם.

(בדיקה בחישוב מהטבלה: $r\approx 0.90$.)

תשובה: $r=0.9$

שיפוע ישר הרגרסיה:

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(22,340)$:

תשובה: $y=8.166x+160.348$

הנתונים בטבלה באלפי שקלים, לכן הוצאה של 19,000 שקלים היא $x=19$:

ההערכה מתבססת על ישר הרגרסיה, כי מקדם המתאם $r=0.9$ גבוה (קשר לינארי חזק), ו־19 נמצא בתחום הערכים של $X$ בטבלה (בין 9 ל־48).

תשובה: כ־315.5 אלפי שקלים (כ־315,500 ש״ח)

כל הערכים בטבלה קטנים בערך פי 3. אם כל הערכים של $X$ מחולקים ב־3, גם הממוצע מתחלק ב־3:

תשובה: $\bar{X}$ קטן (בערך פי 3).

המרחקים של הערכים מהממוצע קטנים גם הם פי 3, ולכן גם סטיית התקן קטנה פי 3:

תשובה: $S_x$ קטנה (בערך פי 3).

חלוקת כל הערכים במספר חיובי משנה רק את קנה המידה של הצירים. צורת דיאגרמת הפיזור ועוצמת הקשר הלינארי לא משתנות, ולכן מקדם המתאם נשאר $r=0.9$.

תשובה: $r$ לא משתנה.

הנתונים: $\bar{x}=64,S_x=14$ (מתמטיקה), $\bar{y}=72,S_y=9$ (מדעי המחשב), $r=0.77$.

שיפוע קו הרגרסיה של $y$ על פי $x$:

קו הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים $(64,72)$:

תשובה: $y=0.495x+40.32$

נציב את הציון של דני במתמטיקה, $x=90$, במשוואת קו הרגרסיה:

תשובה: הציון המשוער: $84.87\approx 85$

כשמוסיפים לכל ציון את אותו מספר, גם הממוצע עולה באותו מספר:

הממוצע גדל ב־4 נקודות.

תשובה: גדל ב־4: $\bar{x}=68$

תוספת קבועה מזיזה את כל הציונים ימינה באותו מרחק, אבל המרחקים של הציונים מהממוצע ($x_i-\bar{x}$) לא משתנים. לכן הפיזור לא השתנה.

סטיית התקן לא השתנתה: $S_x=14$.

תשובה: לא השתנתה: $S_x=14$

מקדם המתאם תלוי בסטיות $x_i-\bar{x}$, $y_i-\bar{y}$ ובסטיות התקן:

כל ציון במתמטיקה וגם הממוצע עלו ב־4, ולכן הסטיות $x_i-\bar{x}$ לא השתנו. גם $S_x$ וציוני מדעי המחשב לא השתנו.

לכן מקדם המתאם לא השתנה: $r=0.77$.

תשובה: לא השתנה: $r=0.77$

הממוצעים לא השתנו, ולכן קו הרגרסיה $y=mx+43.2$ עובר בנקודת הממוצעים $(64,72)$. נציב:

תשובה: $m=0.45$

סטיות התקן לא השתנו ($S_x=14,S_y=9$). מהקשר בין השיפוע למקדם המתאם:

תשובה: $r=0.7$

קו הרגרסיה תמיד עובר בנקודת הממוצעים $(\bar{x},\bar{y})$.

לכן כאשר הטמפרטורה היא הטמפרטורה הממוצעת $\bar{x}=26.5^{\circ }$, הניבוי לכמות המדוזות הוא הממוצע שלהן: $\bar{y}=14$.

תשובה: 14 מדוזות

(1) מקדם המתאם תמיד בין $-1$ ל־$1$, ולכן ההיגד „קטן מ־1” לא אומר שהניבוי לא טוב. $r=0.8$ קרוב ל־1, כלומר יש מתאם קווי חיובי חזק, והניבוי טוב. ההיגד אינו נכון.

(2) $r=0.8>0$ – מתאם חיובי: ככל ש־$X$ קטן, גם $Y$ צפוי לקטון. כלומר כשהטמפרטורה יורדת ננבא כמות קטנה יותר של מדוזות. ההיגד אינו נכון.

(3) מתאם חיובי: ככל שהטמפרטורה עולה, ננבא כמות גדולה יותר של מדוזות. ההיגד נכון.

תשובה: רק היגד (3) נכון.

שיפוע קו הרגרסיה:

הקו עובר בנקודת הממוצעים $(26.5,14)$:

(בעיגול: $y\approx 0.571x-1.143$.)

תשובה: $y=\frac{4}{7}x-1\frac{1}{7}\approx 0.571x-1.143$

נציב $x=33$ במשוואת קו הרגרסיה:

כלומר ננבא כ־18 מדוזות.

תשובה: $17\frac{5}{7}\approx 17.71$, כלומר כ־18 מדוזות.

נשתמש בממוצע הנתון $\bar{y}=5.12$ ונחשב את סכום ריבועי הסטיות:

תשובה: $S_y\approx 1.88$ (מקרים ל־100,000 תושבים)

בדיאגרמת הפיזור הנקודות „יורדות” משמאל לימין: ככל שקו הרוחב גדל, שיעור מקרי המלנומה קטן. זה קשר ליניארי שלילי, לכן מקדם המתאם שלילי – נשארות האפשרויות (2) ו־(4).

$r=-1$ פירושו שכל הנקודות נמצאות בדיוק על קו ישר. בדיאגרמה הנקודות אינן על קו ישר אחד, ולכן $r\ne -1$.

הקשר בכל זאת חזק למדי (הנקודות קרובות לקו יורד), ולכן מתאים $r=-0.857$.

תשובה: (2) $r=-0.857$

שיפוע קו הרגרסיה:

הקו עובר בנקודת הממוצעים $(38.71,5.12)$:

תשובה: $y=-0.399x+20.57$

נציב $x=36$ במשוואת קו הרגרסיה:

שימו לב: התוצאה רגישה לעיגול. בלי לעגל את השיפוע ואת החותך מקבלים $y\approx 6.20$; בפתרון של גבע מופיע 6.21 ובתשובות של מלומד 6.19 (וחותך 20.56) – כולם „בערך 6.2”.

תשובה: בערך 6.2 מקרים ל־100,000 תושבים ($y\approx 6.21$)