בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳

הביטוי $4-3x$ מוגדר לכל $x$, וגם $e^{3x}$ מוגדר לכל $x$. לכן הפונקציה מוגדרת לכל $x$.

תשובה: כל $x$

חיתוך עם ציר ה־$y$ – נציב $x=0$:

חיתוך עם ציר ה־$x$ – נפתור $f(x)=0$. מכיוון ש־$e^{3x}>0$ תמיד:

תשובה: עם ציר ה־$y$: $(0,4)$
עם ציר ה־$x$: $\left(\frac{4}{3},0\right)$

נגזור לפי כלל המכפלה ${\left(u\cdot v\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

תמיד $e^{3x}>0$, לכן $f^{\prime }(x)=0$ רק כאשר $9-9x=0$, כלומר $x=1$.

(למשל $f^{\prime }(0)=9>0$, $f^{\prime }(2)=-9e^6<0$.)

תשובה: מקסימום: $\left(1,e^3\right)\approx (1,20.09)$

לפי טבלת הסימנים בסעיף ג (1):

עלייה: $x<1$ (שם $f^{\prime }(x)>0$).

ירידה: $x>1$ (שם $f^{\prime }(x)<0$).

תשובה: עלייה: $x<1$
ירידה: $x>1$

נשתמש בכל מה שמצאנו: חיתוך עם הצירים $(0,4)$, $\left(\frac{4}{3},0\right)$, מקסימום $(1,20.09)$.

כאשר $x\to -\infty$ הביטוי $e^{3x}$ שואף ל־0 מהר יותר משהביטוי $4-3x$ גדל, ולכן $f(x)\to 0$ מלמעלה – הישר $y=0$ הוא אסימפטוטה אופקית משמאל. כאשר $x\to \infty$, $f(x)\to -\infty$.

תשובה: ראו סקיצה.
אסימפטוטה $y=0$ משמאל, מקסימום $(1,20.09)$, חיתוך $(0,4)$ ו־$\left(\frac{4}{3},0\right)$.

נגזור את $g(x)=-2f(x)-1$:

לכן $g^{\prime }(x)=0$ בדיוק כאשר $f^{\prime }(x)=0$, כלומר ב־$x=1$. הסימן של $g^{\prime }(x)$ הפוך לסימן של $f^{\prime }(x)$:

תשובה: מינימום: $\left(1,-2e^3-1\right)\approx (1,-41.17)$

נבדוק את תכונות הגרף של $g(x)$:

• ל־$g(x)$ יש מינימום ב־$x=1$, כלומר מימין לציר ה־$y$.

• כאשר $x\to -\infty$: $f(x)\to 0$, ולכן $g(x)\to -2\cdot 0-1=-1$. כלומר משמאל יש אסימפטוטה אופקית $y=-1$, מתחת לציר ה־$x$.

• כאשר $x\to \infty$: $f(x)\to -\infty$, ולכן $g(x)\to \infty$.

גרף I – יש לו מקסימום ולא מינימום, ולכן נפסל.

גרף II – נקודת המינימום משמאל לציר ה־$y$ והגרף שואף לאינסוף משמאל, ולכן נפסל.

גרף III – אסימפטוטה אופקית שלילית משמאל, מינימום מימין לציר ה־$y$ ועלייה לאינסוף מימין. מתאים.

תשובה: גרף III.

נמצא היכן הנגזרת מתאפסת:

בסיסים שווים, ולכן המעריכים שווים:

נקבע את סוג הקיצון בעזרת טבלת סימנים של $f^{\prime }(x)$:

(למשל $f^{\prime }(0)=1-e^2<0$, $f^{\prime }(2)=e^2-1>0$.)

תשובה: $x=1$, נקודת מינימום.

מה שידוע לנו על $f(x)$:

• מוגדרת לכל $x$.

• יורדת עבור $x<1$ ועולה עבור $x>1$ – מינימום ב־$x=1$.

• חיובית לכל $x$ – כל הגרף מעל ציר ה־$x$ (גם נקודת המינימום).

סקיצה אפשרית (הגובה המדויק של המינימום עוד לא ידוע בשלב זה):

תשובה: ראו סקיצה: גרף מעל ציר ה־$x$, יורד עד מינימום ב־$x=1$ ואחר כך עולה.

$f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$:

הפונקציה הקדומה של $e^{2-x}$ היא $\frac{e^{2-x}}{-1}=-e^{2-x}$, ולכן:

זו אפשרות (4).

בדיקה – נגזור כל אפשרות (נזכור ${\left(e^{2-x}\right)}^{\prime }=-e^{2-x}$):

(1): $e^x+e^{2-x}$ – לא מתאים.

(2): $e^x-\frac{1}{2}{e}^{2-x}$ – לא מתאים.

(3): $e^x+\frac{1}{2}{e}^{2-x}$ – לא מתאים.

(4): $e^x-e^{2-x}$ – מתאים.

תשובה: אפשרות (4): $f(x)=e^x+e^{2-x}+c$

האנך לציר ה־$x$ עובר דרך נקודת הקיצון, כלומר זה הישר $x=1$. הצירים והאנך תוחמים את הקטע $0\le x\le 1$, ו־$f(x)$ חיובית, לכן:

נשווה לשטח הנתון:

תשובה: $c=e$

עם $c=e$:

נציב $x=1$:

תשובה: $y=3e\approx 8.15$