פונקציות לוגריתמיות

שני תנאים:

• הביטוי $\ell nx$ מוגדר רק עבור $x>0$.

• המכנה שונה מאפס:

תשובה: $x>0$ , $x\ne e^{1.5}$

ב־$x=e^{1.5}$ המכנה מתאפס והמונה $x^2=e^3\ne 0$. לכן כאשר $x$ מתקרב ל־$e^{1.5}$ הפונקציה שואפת לאינסוף (או למינוס אינסוף) – יש אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=e^{1.5}\approx 4.48$

חיתוך עם ציר ה־$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה – אין חיתוך.

חיתוך עם ציר ה־$x$: $f(x)=0$ רק אם המונה מתאפס, כלומר $x^2=0$, $x=0$ – גם זה לא בתחום.

לכן אין לגרף נקודות חיתוך עם הצירים.

תשובה: אין – הנקודה היחידה שמאפסת את המונה היא $x=0$, והיא לא בתחום ההגדרה.

נגזור לפי כלל המנה ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$:

המכנה חיובי והגורם $8x$ חיובי בתחום, לכן:

תשובה: מינימום: $\left(e^2,\frac{e^4}{2}\right)\approx (7.39,27.3)$

לפי טבלת הסימנים של $f^{\prime }(x)$ מסעיף ג (1):

תשובה: ירידה: $0<x<e^{1.5}$ , $e^{1.5}<x<e^2$
עלייה: $x>e^2$

הגרף של $f(x)$: עבור $0<x<e^{1.5}$ המכנה שלילי והמונה חיובי, לכן $f(x)<0$ – הגרף מתחת לציר ה־$x$ ויורד לכיוון האסימפטוטה. מימין לאסימפטוטה $f(x)>0$, עם מינימום ב־$\left(e^2,\frac{e^4}{2}\right)$. זה גרף III.

הגרף של $f^{\prime }(x)$: עבור $0<x<e^2$ (פרט לאסימפטוטה) $f^{\prime }(x)<0$ – שני הענפים שמשמאל ל־$e^2$ נמצאים מתחת לציר ה־$x$ (שניהם שואפים ל־$-\infty$ ליד האסימפטוטה). ב־$x=e^2$ הנגזרת מתאפסת, ומימין לה היא חיובית. זה גרף II.

תשובה: $f(x)$ – גרף III ; $f^{\prime }(x)$ – גרף II.

הנגזרת מתאפסת ב־$x=e^2$ וחיובית עבור $x>e^2$. השטח המוגבל על ידי גרף $f^{\prime }(x)$, ציר ה־$x$ והישר $x=e^3$ נמצא בין $x=e^2$ ל־$x=e^3$, מעל ציר ה־$x$:

הפונקציה הקדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$, לכן:

תשובה: $S=\frac{e^6}{6}-\frac{e^4}{2}\approx 39.94$ יח״ר

נקודות הקיצון של $f(x)$ הן הנקודות שבהן $f^{\prime }(x)=0$ ו־$f^{\prime }(x)$ מחליפה סימן – כלומר נקודות החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה־$x$ (ולא נקודות הקיצון של גרף הנגזרת).

בסרטוט גרף $f^{\prime }(x)$ חותך את ציר ה־$x$ בשתי נקודות. נסמן אותן $x_1<x_2$:

• ב־$x_1$ הנגזרת עוברת משלילית לחיובית – $f(x)$ עוברת מירידה לעלייה: נקודת מינימום.
• ב־$x_2$ הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית – $f(x)$ עוברת מעלייה לירידה: נקודת מקסימום.

I. לא נכון – לפונקציה $f(x)$ יש בדיוק שתי נקודות קיצון (שלוש נקודות הקיצון בסרטוט הן של גרף הנגזרת).

II. לא נכון – נקודת המינימום היא ב־$x_1$ ונקודת המקסימום ב־$x_2$, ו־$x_1<x_2$. כלומר שיעור ה־$x$ של המינימום קטן משיעור ה־$x$ של המקסימום.

תשובה: I – לא נכון (יש 2 נקודות קיצון). II – לא נכון (המינימום משמאל למקסימום).

תחום ההגדרה הוא $x>0$, לכן אין חיתוך עם ציר ה־$y$.

חיתוך עם ציר ה־$x$:

תשובה: $(1,0)$ בלבד (אין חיתוך עם ציר ה־$y$).

נגזור לפי כלל המנה. הנגזרת של $(\ell nx{)}^2$ היא $2\ell nx\cdot \frac{1}{x}$:

נשווה לאפס ($x^3>0$ בתחום):

(למשל $f^{\prime }(0.5)<0$, $f^{\prime }(2)>0$, $f^{\prime }(4)<0$.)

תשובה: מינימום $(1,0)$, מקסימום $\left(e,\frac{14}{e^2}\right)$

לפי טבלת הסימנים בסעיף ב (2):

עלייה: $1<x<e$.

ירידה: $0<x<1$ וגם $x>e$.

(זה מתאים לסרטוט של $f^{\prime }(x)$: הנגזרת חיובית רק בין שתי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה־$x$.)

תשובה: עולה: $1<x<e$
יורדת: $0<x<1$, $x>e$.

נשתמש בסעיפים הקודמים: הפונקציה מוגדרת עבור $x>0$, אינה שלילית (ריבוע חלקי ריבוע), יורדת עד המינימום $(1,0)$ שעל ציר ה־$x$, עולה עד המקסימום $\left(e,\frac{14}{e^2}\right)$ ואחר כך יורדת.

כאשר $x$ מתקרב ל־0 מימין, $f(x)$ שואפת לאינסוף, וכאשר $x$ גדל מאוד $f(x)$ מתקרבת ל־0.

תשובה:

$g(x)=f(x-4)$ מוגדרת כאשר הביטוי $x-4$ נמצא בתחום ההגדרה של $f$:

(גרף $g$ הוא גרף $f$ מוזז 4 יחידות ימינה.)

תשובה: $x>4$

גרף $g(x)$ מתקבל מגרף $f(x)$ על ידי הזזה של 4 יחידות ימינה. הזזה אופקית לא משנה את סוג נקודות הקיצון ולא את שיעורי ה־$y$ שלהן – רק מוסיפה 4 לשיעורי ה־$x$:

תשובה: מינימום $(5,0)$, מקסימום $\left(e+4,\frac{14}{e^2}\right)$

הביטוי $\ell nx$ מוגדר רק עבור $x>0$ (ושאר הביטויים מוגדרים לכל $x$).

תשובה: $x>0$

חיתוך עם ציר ה־$x$: $f(x)=0$.

$a\ne 0$, ו־$x=0$ לא בתחום ההגדרה, לכן:

תשובה: $(e^2,0)$

נגזור לפי כלל המכפלה:

שיפוע המשיק בנקודה $x=e^3$ הוא $-8$:

תשובה: $a=4$

עם $a=4$: $f(x)=4x(2-\ell nx)$, $f^{\prime }(x)=4(1-\ell nx)$.

(למשל $f^{\prime }(1)=4>0$, $f^{\prime }(e^2)=-4<0$.)

תשובה: $\max (e,4e)$

נבדוק את התכונות שמצאנו:

• לפונקציה יש מקסימום אחד (ואין מינימום) – גרפים III ו־IV נפסלים (יש בהם מינימום).

• הגרף חותך את ציר ה־$x$ ב־$x=e^2$, ואחרי נקודת המקסימום הוא יורד ועובר לערכים שליליים (למשל $f(e^3)=4e^3(2-3)<0$) – גרף I נפסל, כי בו הגרף נשאר מעל ציר ה־$x$ ואינו חותך אותו.

• $x=0$ לא בתחום ההגדרה – בגרף II יש עיגול ריק בראשית.

תשובה: גרף II.

$g(x)=-2f(x)+37$, לכן:

$g^{\prime }(x)=0$ בדיוק כאשר $f^{\prime }(x)=0$, כלומר ב־$x=e$. הכפלה ב־$-2$ הופכת את הסימן: לפני $x=e$ $g^{\prime }(x)<0$ ואחריו $g^{\prime }(x)>0$, ולכן זו נקודת מינימום.

תשובה: $\min (e,37-8e)$

נקודת חיתוך מקיימת $f(x)=g(x)$:

אבל הערך הגדול ביותר של $f(x)$ הוא ערך המקסימום $4e\approx 10.87$, שקטן מ־$12.33$. לכן אין $x$ שבו $f(x)=\frac{37}{3}$.

(אפשר גם כך: ערך המינימום של $g$ הוא $37-8e\approx 15.25$, והוא גדול מהערך המקסימלי של $f$, לכן הגרף של $g$ תמיד מעל הגרף של $f$.)

תשובה: לא – $f(x)\le 4e<\frac{37}{3}$, לכן אין פתרון ל־$f(x)=g(x)$.

הביטוי $\ell nx$ מוגדר רק עבור מספרים חיוביים:

תשובה: $x>0$

חיתוך עם ציר ה־$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה, לכן אין חיתוך עם ציר ה־$y$.

חיתוך עם ציר ה־$x$:

$x^2\ne 0$ בתחום, לכן:

תשובה: $(e^2,0)$ בלבד

נגזור לפי כלל המכפלה:

נשווה לאפס ($x>0$):

(למשל $f^{\prime }(1)=-3<0$, $f^{\prime }(e^2)=e^2>0$.)

תשובה: $\left(e^{1.5},-\frac{1}{2}{e}^3\right)$ – מינימום

נבדוק את התכונות שמצאנו:

• תחום $x>0$ ונקודת חיתוך אחת עם ציר ה־$x$ ($x=e^2$).
• הפונקציה יורדת עד נקודת מינימום ואחר כך עולה.
• כאשר $x$ מתקרב ל־0 מימין, $f(x)$ מתקרבת ל־0 (כי $x^2\to 0$), ולכן הגרף מתחיל ליד ראשית הצירים (נקודה ריקה, כי $x=0$ לא בתחום).

גרף I מתאים לכל התכונות. גרף III לא חותך את ציר ה־$x$, ובגרפים II ו־IV יש מקסימום ולא מינימום.

תשובה: גרף I

$g(x)=a\cdot f(x)$, לכן $g^{\prime }(x)=a\cdot f^{\prime }(x)$, ונקודת הקיצון של $g$ היא באותו $x$: $x=e^{1.5}$.

תשובה: $a=-1.2$

$g(x)=-1.2\cdot f(x)$: הכפלה במספר שלילי הופכת את הגרף (שיקוף ביחס לציר ה־$x$ ומתיחה).

לכן $g^{\prime }(x)=-1.2f^{\prime }(x)$ – הסימנים של הנגזרת מתהפכים: $g$ עולה כאשר $f$ יורדת ויורדת כאשר $f$ עולה. נקודת המינימום של $f$ הופכת לנקודת מקסימום של $g$.

(וגם: $0.6e^3>0$, נקודה מעל ציר ה־$x$.)

תשובה: נקודת מקסימום

לגרף של $g(x)$ יש אותו תחום ($x>0$), אותה נקודת חיתוך עם ציר ה־$x$ ($x=e^2$, כי $g=0$ בדיוק כאשר $f=0$), נקודת מקסימום, וכאשר $x\to 0^{+}$ גם $g(x)\to 0$ (מתחיל בנקודה ריקה בראשית).

גרף IV מתאים. בגרף II הפונקציה שואפת למינוס אינסוף ליד $x=0$, ולכן הוא לא מתאים.

תשובה: גרף IV

לפונקציה מקסימום אחד ומינימום אחד, והמינימום מימין למקסימום. לכן הנגזרת מתאפסת בשתי נקודות ומשנה בהן סימן, ומשמאל לימין סדר הסימנים של $f^{\prime }(x)$ הוא:

(עלייה עד המקסימום, ירידה עד המינימום, ואז עלייה.)

• גרף II: חיובי, אחר כך שלילי, ואחר כך חיובי – מתאים.

• גרף I: הסדר $-,+,-$ – מתאים למינימום משמאל למקסימום.

• גרף III: הגרף חותך את ציר ה־$x$ שלוש פעמים – היו שלוש נקודות קיצון.

• גרף IV: הגרף רק משיק לציר ה־$x$ ולא משנה סימן – לא הייתה אף נקודת קיצון.

תשובה: גרף II.

חיתוך עם ציר ה־$y$: $x=0$ אינו בתחום ($x>0$), לכן אין.

חיתוך עם ציר ה־$x$:

$x\ne 0$, לכן $(\ell nx{)}^2=0$, כלומר $\ell nx=0$ ו־$x=1$.

תשובה: $(1,0)$; אין חיתוך עם ציר ה־$y$.

נגזור לפי כלל המכפלה:

$f^{\prime }(x)=0$: $\ell nx=0\Rightarrow x=1$, או $\ell nx=-2\Rightarrow x=e^{-2}$.

תשובה: $\max \left(e^{-2},\frac{12}{e^2}\right)$, $\min (1,0)$

הגרף של $f(x)$ צריך להיות: מוגדר רק עבור $x>0$ (עיגול ריק בראשית), עולה עד מקסימום ב־$x=e^{-2}$ (קרוב לציר ה־$y$), יורד עד מינימום ב־$(1,0)$ – כלומר נוגע בציר ה־$x$ – ואחר כך עולה. בנוסף $f(x)\ge 0$ לכל $x$ בתחום.

גרף IV מתאים לכל התכונות. (גרף III יורד מתחת לציר ה־$x$, וגרפים I ו־II אינם מתאימים לסדר עלייה–ירידה–עלייה.)

תשובה: גרף IV.

גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$x$ ב־$x=e^{-2}$ וב־$x=1$, וביניהן $f^{\prime }(x)<0$ (הגרף מתחת לציר).

הפונקציה הקדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$, לכן:

תשובה: $\frac{12}{e^2}\approx 1.624$ יחידות שטח

שני תנאים: $\ell nx$ מוגדר רק עבור $x>0$, והמכנה $(\ell nx{)}^2$ לא יכול להתאפס:

תשובה: $x>0$, $x\ne 1$

ב־$x=1$ המכנה מתאפס והמונה $12\cdot 1=12\ne 0$, לכן הישר $x=1$ הוא אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=1$

חיתוך עם ציר ה־$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה – אין.

חיתוך עם ציר ה־$x$: צריך $12x=0$, כלומר $x=0$ – גם הוא לא בתחום. לכן אין לגרף נקודות חיתוך עם הצירים.

תשובה: לא – $x=0$ אינו בתחום ההגדרה, והמונה מתאפס רק ב־$x=0$.

נגזור לפי כלל המנה. הנגזרת של $(\ell nx{)}^2$ היא $2\ell nx\cdot \frac{1}{x}$:

(למשל $f^{\prime }(0.5)>0$, $f^{\prime }(2)<0$, $f^{\prime }(10)>0$.)

תשובה: $(e^2,3e^2)$ – נקודת מינימום

לפי טבלת הסימנים בסעיף ב (1), $f^{\prime }(x)>0$ ב־$0<x<1$ וב־$x>e^2$.

תשובה: $0<x<1$, $x>e^2$

נבדוק את התכונות שמצאנו:

• משמאל לאסימפטוטה ($0<x<1$) הפונקציה עולה וחיובית (מונה ומכנה חיוביים) – הגרף עולה מהנקודה הריקה בראשית אל האסימפטוטה.
• מימין לאסימפטוטה הפונקציה חיובית, יורדת עד מינימום ואחר כך עולה.

בגרפים I ו־III יש מקסימום ולא מינימום מימין לאסימפטוטה, ובגרף II הפונקציה שלילית ויורדת משמאל לאסימפטוטה. רק גרף IV מתאים.

תשובה: גרף IV

עבור $c=4$: $g^{\prime }(x)=f(x)-4$. לנקודת קיצון של $g$ צריך $g^{\prime }(x)=0$ עם החלפת סימן, כלומר נקודה שבה הגרף של $f$ חוצה את הישר $y=4$.

• בתחום $x>1$: הערך הקטן ביותר של $f$ הוא $3e^2\approx 22.17>4$, ולכן $f(x)-4>0$ – אין פתרון.
• בתחום $0<x<1$: $f$ עולה מערכים קרובים ל־0 אל אינסוף, ולכן חוצה את $y=4$ פעם אחת בדיוק. לפני נקודה זו $f(x)<4$ ($g^{\prime }<0$, $g$ יורדת) ואחריה $f(x)>4$ ($g^{\prime }>0$, $g$ עולה).

לכן יש ל־$g$ נקודת קיצון אחת, והיא נקודת מינימום.

תשובה: נקודת קיצון אחת – מינימום.

נקודות הקיצון של $g$ הן נקודות שבהן הגרף של $f$ חוצה את הישר האופקי $y=c$. כדי לקבל שלוש נקודות חיתוך:

• בתחום $0<x<1$ הישר חותך את גרף $f$ פעם אחת לכל $c>0$.
• בתחום $x>1$ הוא חותך פעמיים אם הוא מעל נקודת המינימום, כלומר $c>3e^2$ (פעם בירידה ופעם בעלייה).

לדוגמה $c=30$ (כי $30>3e^2\approx 22.17$): שלוש נקודות חיתוך, ובכל אחת $g^{\prime }$ מחליפה סימן – שלוש נקודות קיצון.

(עבור $c=3e^2$ בדיוק הישר משיק בנקודת המינימום ו־$g^{\prime }$ לא מחליפה שם סימן.)

תשובה: למשל $c=30$ (כל $c>3e^2$ מתאים).

בנקודת קיצון של $f(x)$ הנגזרת מתאפסת, כלומר גרף הנגזרת חותך שם את ציר ה־$x$.

גרף I חותך את ציר ה־$x$ בנקודה $A$, ובדיוק מעל $A$ נמצאת נקודת המינימום של גרף II. בנוסף: משמאל ל־$A$ גרף I שלילי וגרף II יורד, ומימין ל־$A$ גרף I חיובי וגרף II עולה.

לעומת זאת, אם II היה גרף הנגזרת, היה צריך להיות לגרף I קיצון מעל $C$ – אבל שם גרף I רק עולה.

תשובה: גרף I מתאר את $f^{\prime }(x)$.

$\ell n(x)$ מוגדר רק עבור $x>0$:

תשובה: $x>0$

נגזור לפי כלל המכפלה:

$f^{\prime }(x)=0$: $x>0$, לכן $\ell nx=0$, כלומר $x=1$.

לפי גרף II (גרף הפונקציה) זו נקודת מינימום. (גם לפי הנגזרת: $f^{\prime }(x)<0$ עבור $0<x<1$ ו־$f^{\prime }(x)>0$ עבור $x>1$.)

תשובה: $\min (1,-1)$

$A$ – נקודת החיתוך של גרף I (הנגזרת) עם ציר ה־$x$: $f^{\prime }(x)=0$, כלומר $x=1$. לכן $A(1,0)$.

$C$ – נקודת החיתוך של גרף II (הפונקציה) עם ציר ה־$x$:

$x>0$, לכן $2\ell nx-1=0$:

תשובה: $AC=\sqrt{e}-1\approx 0.649$

השטח ברביע הראשון חסום בין גרף I ($f^{\prime }(x)$, שחיובי עבור $x>1$), ציר ה־$x$ והישר $x=\sqrt{e}$, כלומר בין $x=1$ ל־$x=\sqrt{e}$.

הפונקציה הקדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$:

תשובה: 1 יחידת שטח

$\ell n(2x)$ מוגדר כאשר $2x>0$:

תשובה: $x>0$

נגזור לפי כלל המכפלה (הנגזרת של $\ell n(2x)$ היא $\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}$):

שיפוע המשיק ב־$x=\frac{e}{2}$ הוא 6:

תשובה: $a=3$

$f(x)=3x\ell n(2x)$. בתחום $x>0$ הגורם $3x$ לא מתאפס, לכן:

תשובה: $\left(\frac{1}{2},0\right)$

(למשל $f^{\prime }(0.1)=3(\ell n0.2+1)<0$, $f^{\prime }(1)=3(\ell n2+1)>0$.)

תשובה: $\left(\frac{1}{2e},-\frac{3}{2e}\right)$ – מינימום

הפונקציה $f(x)$: תחום $x>0$, יורדת עד מינימום ואחר כך עולה, חותכת את ציר ה־$x$ ב־$x=\frac{1}{2}$, וליד $x=0$ מתקרבת ל־0 (נקודה ריקה בראשית). זה גרף I.

הנגזרת $f^{\prime }(x)=3\ell n(2x)+3$: פונקציה לוגריתמית עולה – שלילית משמאל ל־$x=\frac{1}{2e}$ וחיובית מימין, ושואפת למינוס אינסוף ליד $x=0$. זה גרף IV.

(גרף II מתאים לפונקציה עם מקסימום, וגרף III לפונקציה יורדת – לא $f$ ולא $f^{\prime }$.)

תשובה: $f(x)$ – גרף I; $f^{\prime }(x)$ – גרף IV.

גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$x$ ב־$x=\frac{1}{2e}$ (סעיף ד), ובין $x=\frac{1}{2e}$ ל־$x=e$ הוא מעל ציר ה־$x$. פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$:

תשובה: $S=3e\ell n(2e)+\frac{3}{2e}\approx 14.36$

שני תנאים: $\ell n(x)$ מוגדר רק עבור $x>0$, והמכנה לא יכול להיות 0:

תשובה: $x>0$, $x\ne e^{-\frac{1}{2}}$

$f(x)=0$ רק כאשר המונה מתאפס: $3x^2=0$, כלומר $x=0$. אבל $x=0$ אינו בתחום ההגדרה ($x>0$). לכן הגרף אינו חותך את ציר ה־$x$.

תשובה: לא – המונה מתאפס רק ב־$x=0$, שאינו בתחום.

המכנה מתאפס ב־$x=e^{-\frac{1}{2}}$, והמונה שם שונה מאפס ($3e^{-1}\ne 0$), לכן זו אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=e^{-\frac{1}{2}}\approx 0.61$

נגזור לפי נגזרת של מנה:

$f^{\prime }(x)=0$: $x>0$, לכן $\ell nx=0$, כלומר $x=1$.

המכנה של $f^{\prime }(x)$ חיובי, ו־$12x>0$, לכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ הוא הסימן של $\ell nx$: שלילי עבור $x<1$ וחיובי עבור $x>1$ – נקודת מינימום.

תשובה: $\min (1,3)$

תשובה: עלייה: $x>1$
ירידה: $0<x<e^{-\frac{1}{2}}$ וגם $e^{-\frac{1}{2}}<x<1$.

נבדוק את הסימן של $f(x)$ משמאל לאסימפטוטה: עבור $0<x<e^{-\frac{1}{2}}$ מתקיים $\ell nx<-\frac{1}{2}$, לכן המכנה $2\ell nx+1$ שלילי והמונה חיובי – $f(x)<0$. בנוסף הפונקציה יורדת שם (סעיף ג).

מימין לאסימפטוטה $f(x)>0$, הפונקציה יורדת עד המינימום $(1,3)$ ואחר כך עולה.

גרף III מתאים: הענף השמאלי יורד מתחת לציר ה־$x$ (עיגול ריק בראשית), והענף הימני מעל ציר ה־$x$ עם מינימום. (בגרף I הענף הימני מתחת לציר, בגרף II הענף השמאלי עולה, ובגרף IV הענף הימני שלילי.)

תשובה: גרף III.

ישר מהצורה $y=t$ הוא ישר אופקי. ישר אופקי משיק לגרף בנקודת הקיצון, כלומר בנקודת המינימום $(1,3)$. לכן $t=3$, והישר $y=t-5$ הוא:

לפי הגרף (סעיף ד): מימין לאסימפטוטה $f(x)\ge 3$, ולכן הישר $y=-2$ לא פוגש שם את הגרף. משמאל לאסימפטוטה הפונקציה יורדת מערכים הקרובים ל־0 (ליד הראשית) עד $-\infty$, ולכן מקבלת את הערך $-2$ פעם אחת בדיוק.

(אין צורך למצוא את נקודת החיתוך עצמה – המשוואה אינה נפתרת אלגברית, ופתרון מקורב במחשבון אינו דרך מותרת.)

תשובה: כן, בנקודה אחת.

$\ell nx$ מוגדר רק עבור $x>0$, והמכנה $4x$ שונה מאפס בתחום זה:

תשובה: $x>0$

$x=0$ לא בתחום, לכן אין חיתוך עם ציר ה־$y$. חיתוך עם ציר ה־$x$:

תשובה: $(1,0)$

נגזור לפי כלל המנה: