בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד מיוחד

$\ell nx$ מוגדר רק עבור $x>0$, ולכן:

תשובה: $x>0$

חיתוך עם ציר ה־y: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה, לכן אין נקודת חיתוך עם ציר ה־y.

חיתוך עם ציר ה־x: נשווה את $f(x)$ ל־0. מכפלה שווה ל־0 כאשר אחד הגורמים שווה ל־0:

($e^{-2}\approx 0.135$, $e^4\approx 54.6$.)

תשובה: עם ציר x: $(e^{-2},0)$, $(e^4,0)$
עם ציר y: אין

נגזור לפי כלל המכפלה (הנגזרת של $\ell nx$ היא $\frac{1}{x}$):

נשווה ל־0 (המכנה $x>0$):

סימן הנגזרת לפי המונה $2\ell nx-2$:

לכן $(e,-9)$ היא נקודת מינימום.

תשובה: מינימום: $(e,-9)$

נשתמש בתחום ההגדרה $x>0$, בנקודות החיתוך $(e^{-2},0)$ ו־$(e^4,0)$ ובמינימום $(e,-9)$. כאשר $x\to 0^{+}$, $\ell nx\to -\infty$ ושני הגורמים שליליים, לכן $f(x)\to \infty$ (הגרף מתקרב לציר ה־y מלמעלה).

תשובה: ראו סקיצה.
מינימום $(e,-9)$, חיתוך עם ציר x ב־$e^{-2}$ וב־$e^4$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2\ell nx-2}{x}$. נבדוק את התכונות:

• תחום ההגדרה של $f^{\prime }$ הוא $x>0$ – הגרף נמצא רק מימין לציר ה־y. גרף I ממשיך גם ל־$x<0$, ולכן נפסל.

• לפי טבלת הסימנים בסעיף ג: $f^{\prime }(x)<0$ עבור $0<x<e$ ו־$f^{\prime }(x)>0$ עבור $x>e$, כלומר הגרף מתחת לציר ה־x ואחרי $x=e$ מעליו. בגרף II הנגזרת חיובית ליד ציר ה־y ואחר כך שלילית – הפוך, ולכן נפסל.

• גרף III מתאים: מתחת לציר ה־x ליד ציר ה־y (ושואף ל־$-\infty$ כאשר $x\to 0^{+}$), חותך את ציר ה־x בנקודה אחת ($x=e$) ואחר כך חיובי.

תשובה: גרף III

הגרף של $f^{\prime }(x)$ חותך את ציר ה־x ב־$x=e$, ובתחום $\sqrt{e}<x<e$ הוא מתחת לציר ה־x. לכן השטח המבוקש הוא בין $x=\sqrt{e}$ ל־$x=e$:

פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$ עצמה, לכן:

נחשב ($\ell n\sqrt{e}=\frac{1}{2}$):

תשובה: $S=0.25$ יחידות שטח