גדילה ודעיכה

נסמן ב־$M_0$ את מספר הפינגווינים בתחילת 2000, וב־$q$ את מנת הדעיכה השנתית ($0<q<1$, כי המספר קטן).

בתחילת 2001 היו $M_{0}q$ פינגווינים, ובתחילת 2002 היו $M_0{q}^2$.

ההפרש בשנה הראשונה:

ההפרש בשנה השנייה:

ההפרש השני שווה להפרש הראשון כפול $q$. מכיוון ש־$q<1$, ההפרש השני קטן מהראשון – ההפרשים אינם שווים.

(במילים: בכל שנה מספר הפינגווינים קטן באותו אחוז, אבל האחוז נלקח מכמות שהולכת וקטנה.)

תשובה: לא. ההפרש השני הוא $M_{0}q(1-q)$, קטן פי $q$ מההפרש הראשון $M_0(1-q)$.

באזור A: $M_0=253,000$, $q_A=0.95$ (ירידה של 5%). בתחילת 2010 (אחרי 10 שנים):

באזור B: $M_0=313,000$ ומנה לא ידועה $q$. בתחילת 2010 המספרים שווים:

$q=0.93$ פירושו ירידה של $1-0.93=0.07$, כלומר 7% בכל שנה.

תשובה: מספר הפינגווינים באזור B קטן ב־7% בכל שנה.

נחפש $t$ (שנים מתחילת 2000) שבו באזור B יש 98,000 פינגווינים:

נוציא $\ell n$ לשני האגפים:

תשובה: כעבור 16 שנים (כלומר בתחילת 2016).

מתחילת 2018 המספר באזור A גדל ב־2% בכל שנה, כלומר $q=1.02$.

גידול של 17% פירושו שהמספר הגיע ל־$1.17$ מהמספר ההתחלתי $M_0$ (של תחילת 2018):

תשובה: כעבור כ־7.93 שנים (כמעט 8 שנים).

נסמן ב־$M_A(t)$ את מספר המשתמשים בכלי A (במיליונים), $t$ שנים אחרי תחילת 2025.

המספר עולה ב־10% בכל שנה, לכן המנה היא $q=1.1$ ו־$M_0=50$:

תחילת 2030 היא 5 שנים אחרי תחילת 2025:

תשובה: 80.5255 מיליון (80,525,500 משתמשים)

נסמן ב־$q$ את מנת הגדילה השנתית בכלי B וב־$M_0$ את מספר המשתמשים בתחילת 2025. תחילת 2031 היא 6 שנים אחרי תחילת 2025:

כלומר בכל שנה מספר המשתמשים מוכפל ב־1.2009 בקירוב – גדל ב־20.09% בקירוב.

תשובה: בכ־20.1% בכל שנה

בכלי B מספר המשתמשים גדל בכ־20% בשנה, ובכלי A רק ב־10% בשנה. לכן הגרף של B עולה מהר יותר, ובסופו של דבר עובר את הגרף של A.

בסרטוט, גרף II מתחיל נמוך יותר (בתחילת 2025 יש בו פחות משתמשים), נחתך עם גרף I ואחר כך עולה מעליו – הוא הגרף שגדל מהר יותר.

(אפשר לבדוק גם בעזרת סעיף ד: בתחילת 2025 בכלי B כ־20 מיליון משתמשים, פחות מ־50 מיליון בכלי A, וזה מתאים לגרף II שנקודת ההתחלה שלו נמוכה יותר.)

תשובה: גרף II – הוא מתחיל נמוך יותר ועולה מהר יותר (20% לעומת 10% בשנה).

מסעיף א, בתחילת 2030 יהיו בכלי A $80.5255$ מיליון משתמשים. בכלי B יהיו 30 מיליון פחות:

מצד שני $M_B(5)=M_0\cdot q^5$, ומסעיף ב $q=\sqrt[6]{3}$:

תשובה: כ־20.226 מיליון (20,225,980 משתמשים)

נשווה בין שתי הפונקציות:

נוציא $\ell n$ משני האגפים:

כלומר כ־10.31 שנים אחרי תחילת 2025 (במהלך שנת 2035).

תשובה: אחרי כ־10.31 שנים

נסמן את הטמפרטורה של ריבת התות ב־$T(t)=T_0\cdot q_1^t$ ושל ריבת השזיפים ב־$S(t)=S_0\cdot q_2^t$ ($t$ בדקות), כאשר $T_0>S_0$.

נניח בשלילה שהאחוז שבו ירדה ריבת התות אינו גדול מהאחוז של ריבת השזיפים. אז היא יורדת לאט יותר או באותו קצב, כלומר $q_1\ge q_2$, ולכן לכל $t\ge 0$:

(גם הגורם ההתחלתי גדול יותר וגם בסיס החזקה לא קטן יותר.) כלומר ריבת התות תמיד חמה יותר – בסתירה לנתון שאחרי זמן מסוים ריבת השזיפים חמה יותר.

לכן האחוז שבו ירדה הטמפרטורה של ריבת התות גדול יותר.

תשובה: כן. אחרת ריבת התות, שהתחילה חמה יותר, הייתה נשארת חמה יותר כל הזמן.

ירידה של 4% בכל דקה, לכן $q=1-0.04=0.96$, והטמפרטורה של ריבת התות:

נמצא מתי $T(t)=15$:

תשובה: כעבור כ־25.22 דקות.

נסמן ב־$q$ את הגורם של ריבת השזיפים. אחרי 6 דקות הטמפרטורה היא 88% מהטמפרטורה ההתחלתית:

הירידה בכל דקה: $1-0.97892=0.02108$, כלומר כ־2.11%.

תשובה: בכ־2.11% בכל דקה.

נמצא קודם את הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת השזיפים. אחרי 10 דקות היא 31 מעלות:

(אכן $38.36<42$, כמתואר בשאלה.)

נשווה בין הטמפרטורות של שתי הריבות:

(בדיקה: $42\cdot 0.96^{4.64}\approx 34.75$ וגם $38.361\cdot 0.97892^{4.64}\approx 34.75$.)

תשובה: כעבור כ־4.64 דקות.

בשני השירים מספר ההאזנות גדל באחוז קבוע בכל יום, אבל בשיר B האחוז גדול פי 2. לכן הגרף של B עולה מהר יותר, ובסופו של דבר מגיע לגרף של A.

בסרטוט גרף II מתחיל נמוך יותר (3,032) ועולה מהר יותר עד שהוא נפגש עם גרף I – זה הגרף של B. גרף I עולה לאט יותר, ולכן הוא מתאים לשיר A.

תשובה: גרף I – הוא עולה לאט יותר (האחוז של A קטן פי 2 מזה של B).

לשיר A (גרף I): $M_0=5000$. נסמן ב־$q$ את מנת הגדילה היומית:

מספר ההאזנות מוכפל בכל יום ב־1.08, כלומר גדל ב־8%.

תשובה: ב־8% בכל יום

בשיר B האחוז גדול פי 2: $2\cdot 8\%=16\%$, לכן $q=1.16$. מהגרף: $M_0=3032$.

ההפרש:

תשובה: בכ־980 האזנות

נשווה בין מספרי ההאזנות:

נוציא $\ell n$ משני האגפים:

תשובה: אחרי 7 ימים

הירידה התחילה אחרי 7 ימים (סעיף ד). מספר ההאזנות לשיר A אז:

מכאן והלאה מספר ההאזנות קטן ב־8% בכל יום, כלומר $q=0.92$. נסמן ב־$s$ את מספר הימים מתחילת הירידה:

סך הכול מיום העלאת השירים: $7+15=22$ ימים.

תשובה: אחרי כ־22 ימים

במשתלה ב׳ מספר הצמחים גדל ב־10% בכל שבוע, ובמשתלה א׳ רק ב־5%, כלומר משתלה ב׳ גדלה מהר יותר.

אם היה $a\ge 600$, משתלה ב׳ הייתה מתחילה עם לא פחות צמחים וגם גדלה מהר יותר, כלומר לכל $t>0$:

(כי $1.1^t>1.05^t$ לכל $t>0$, וגם $a\ge 600$; מכפלה של מספרים חיוביים גדולים יותר גדולה יותר.)

ואז מספר הצמחים בשתי המשתלות לא היה משתווה אף פעם – בסתירה לנתון. לכן במשתלה ב׳ התחילו עם פחות צמחים: $a<600$.

תשובה: טענה I נכונה: $a<600$.

לפי $f(t)=f(0)\cdot q^t$ ($t$ בשבועות):

אחרי 17 שבועות $B(17)=2A(17)$:

תשובה: $a\approx 544$

נסמן ב־$q$ את הגורם השבועי במשתלה ב׳ בתקופת המכירה. אחרי 5 שבועות נשארו 53% מהמספר בתחילת המכירה:

הירידה בכל שבוע: $1-0.88076\approx 0.119$, כלומר כ־12%.

תשובה: בכ־12% בכל שבוע (בדיוק: כ־11.92%).

בתחילת המכירה (אחרי 17 שבועות) במשתלה א׳ היו $600\cdot 1.05^{17}\approx 1375.2$ צמחים, ובמשתלה ב׳ – פי 2 מזה: $1200\cdot 1.05^{17}\approx 2750.4$.

נמדוד את $t$ (בשבועות) מתחילת המכירה. במשתלה א׳ $q=1-0.08=0.92$, ובמשתלה ב׳ $q=\sqrt[5]{0.53}$:

נחלק את שני האגפים ב־$600\cdot 1.05^{17}$:

(בדיקה: אחרי 15.9 שבועות בשתי המשתלות יש כ־365 צמחים.)

שימו לב: במפתח של משרד החינוך כתוב „כ־16 ימים”, אבל כל הנתונים בשאלה הם בשבועות – התשובה היא כ־16 שבועות.

תשובה: כעבור כ־16 שבועות (15.9).

ביום הקנייה נפח המזרן (9,800) גדול מנפח הגלגל (4,900), ואחרי 7 ימים הנפחים שווים. לכן נפח המזרן קטן מהר יותר (באחוז גדול יותר) מנפח הגלגל.

נסמן ב־$q_1$ ו־$q_2$ את מנות הדעיכה של הגלגל ושל המזרן. מהשוויון אחרי 7 ימים:

כלומר נפח הגלגל קטן לאט יותר. עד היום ה־7 נפח הגלגל קטן מנפח המזרן, ואחרי היום ה־7 הוא גדול ממנו.

I. לא נכונה – אחרי 6 ימים (לפני השוויון) נפח הגלגל עדיין קטן מנפח המזרן.

II. נכונה – אחרי 8 ימים (אחרי השוויון) נפח הגלגל גדול מנפח המזרן.

(בדיקה עם המספרים מסעיף ב: אחרי 6 ימים $4900\cdot 0.96^6\approx 3836$ לעומת $9800\cdot 0.8695^6\approx 4235$.)

תשובה: I – לא נכונה, II – נכונה.

נפח הגלגל קטן ב־4% בכל יום, לכן $q_1=0.96$. נשתמש בשוויון אחרי 7 ימים:

בכל יום נפח המזרן מוכפל ב־0.8695, כלומר קטן ב־$1-0.8695=0.1305$.

תשובה: בכ־13.05% בכל יום

אחרי $t$ ימים נפח המזרן הוא שליש מנפח הגלגל:

נוציא $\ell n$ משני האגפים:

תשובה: $t\approx 18.1$ ימים

בכל דקה הנפח גדל ב־23%, לכן $q=1.23$. נסמן ב־$m$ את מספר הדקות. בסיום הנפח גדול פי 7.5 מהנפח בהתחלה ($M_0$):

תשובה: כ־9.73 דקות

נסמן ב־$q$ את הגורם החודשי. אחרי 8 חודשים נשארו 45% מהכמות ההתחלתית $M_0$:

הירידה בכל חודש: $1-0.905=0.095$, כלומר 9.5%.

תשובה: בכ־9.5% בכל חודש.

אחרי 10 חודשים נשאר מהכמות ההתחלתית החלק:

כלומר נשארו כ־36.86% מהכמות, ולכן הכמות קטנה ב־$100\%-36.86\%=63.14\%$.

תשובה: בכ־63.14%.

קטנה ב־33%, כלומר נשארו 67%:

תשובה: כעבור כ־4 חודשים.

נמצא קודם את $k$ – כמות הדבש בתחילת 2019, כלומר 12 חודשים אחרי תחילת 2018, כשהכמות עוד קטנה:

מתחילת 2019 הכמות גדלה לפי $f(t)=k\cdot 1.05^t$. תחילת 2021 היא 24 חודשים אחרי תחילת 2019:

תשובה: כ־584 ק״ג דבש.

בתחילת 2014 הערך של דירה א׳ (980,000) גדול מהערך של דירה ב׳ (620,000). אחרי מספר שנים הערכים שווים – כלומר הערך של דירה ב׳ „השיג” את הערך של דירה א׳.

זה אפשרי רק אם הערך של דירה ב׳ גדל מהר יותר, כלומר מנת הגדילה שלה גדולה יותר:

(אם $q=1.07$ היחס בין הערכים נשאר קבוע, ואם $q<1.07$ הפער רק גדל.)

תשובה: טענה III: $q>1.07$

מתחילת 2014 עד תחילת 2024 עברו 10 שנים:

תשובה: כ־1,927,808 שקלים

בתחילת 2024 הערך של דירה ב׳ שווה לערך של דירה א׳:

כלומר הערך של דירה ב׳ גדל ב־12% בכל שנה.

תשובה: ב־12% בכל שנה

האחוז החדש קטן פי 1.5 מ־12%: $\frac{12\%}{1.5}=8\%$. הערך יורד ב־8% בכל שנה, לכן $q=0.92$.

נסמן ב־$t$ את מספר השנים מתחילת 2024 ונחפש מתי הערך יקטן מ־620,000 (הערך בתחילת 2014):

נוציא $\ell n$ (ונהפוך את סימן אי־השוויון, כי $\ell n0.92<0$):

בתחילת כל שנה $t$ הוא מספר שלם, לכן לראשונה בעבור $t=14$: $2024+14=2038$.

(בדיקה: $t=13$: כ־652,100 – עדיין גדול; $t=14$: כ־599,900 – קטן.)

תשובה: בתחילת שנת 2038

בתחילת המדידות הקרחון של גרף I כבד יותר (הגרף מתחיל גבוה יותר), אבל אחרי נקודת החיתוך הוא כבר קל יותר. כלומר הוא איבד משקל מהר יותר.

(אם קצב ההפשרה שלו היה איטי יותר או שווה, הוא היה נשאר כבד יותר כל הזמן, והגרפים לא היו נחתכים.)

תשובה: גרף I – הוא מתחיל גבוה יותר ומסיים נמוך יותר.

בתחילת המדידות ($t=0$):

$g(0)>f(0)$, לכן $g(t)$ מתחיל גבוה יותר – גרף I, ו־$f(t)$ – גרף II.

זה מתאים גם לסעיף א: ב־$g(t)$ המשקל קטן ב־9% בכל שנה, וב־$f(t)$ רק ב־4%, כלומר $g(t)$ יורדת מהר יותר.

תשובה: $g(t)$ – גרף I, $f(t)$ – גרף II.

$f(7)>g(7)$, לכן לאחר 7 שנים קרחון A כבד יותר.

תשובה: קרחון A ($5.26>5.17$ אלפי טונות).

תשובה: לאחר כ־6.67 שנים.

נסמן ב־$q$ את הגורם השנתי. אחרי 10 שנים מספר כלבי הים גדל פי 1.5:

כלומר מספר כלבי הים גדל בכל שנה בכ־4.14%.

תשובה: בכ־4% בכל שנה (4.14%).

ריבית של 1.45% לשנה פירושה שבכל שנה הסכום מוכפל ב־$q=1.0145$. נשתמש בנוסחה $M(t)=M_0\cdot q^t$ עם $M_0=1,000,000$ ו־$t=2$:

תשובה: 1,029,210.25 שקלים

3 חודשים הם רבע שנה, כלומר $t=\frac{3}{12}=0.25$:

תשובה: כ־1,003,605.45 שקלים

נסמן ב־$t$ את משך ההלוואה בשנים:

נוציא $\ell n$ משני האגפים:

תשובה: 3.5 שנים (שלוש שנים וחצי)

נסמן ב־$M_0$ את הסכום שהחברה לוותה.

במסלול 1 הסכום מוכפל בשנה הראשונה ב־1.01 ובשנה השנייה ב־1.022:

במסלול 2 הסכום מוכפל בכל שנה באותו גורם $q$:

נשווה את סכומי ההחזר:

כלומר בכל שנה הסכום גדל בכ־1.6% – זו הריבית השנתית הדרושה במסלול 2.

(הסכום $M_0$ מצטמצם, ולכן התשובה לא תלויה בגובה ההלוואה.)

תשובה: כ־1.6% לשנה (1.598%)

שתי הפונקציות הן מהצורה $M(t)=M_0\cdot q^t$.

ביישוב א: $M_0=10$ ו־$q=1.5>1$ – פונקציה עולה שמתחילה ב־10.

ביישוב ב: $M_0=100$ ו־$q=1.2>1$ – פונקציה עולה שמתחילה ב־100.

גרף I יורד, לכן הוא לא מתאר אף אחד מהיישובים א, ב.

מבין שני הגרפים העולים, גרף II מתחיל גבוה יותר (נקודת החיתוך עם הציר האנכי גבוהה יותר), לכן הוא מתאים ליישוב ב (100 נדבקים בהתחלה). גרף III מתחיל נמוך יותר וגדל מהר יותר ($1.5>1.2$), ולכן עוקף בהמשך את גרף II – הוא מתאים ליישוב א.

תשובה: יישוב א: גרף III
יישוב ב: גרף II

תשובה: בערך 430 נדבקים

נשווה בין שתי הפונקציות:

נחלק ב־$10\cdot 1.2^t$:

נוציא $\ell n$ משני האגפים:

(בדיקה: $10\cdot 1.5^{10.32}\approx 100\cdot 1.2^{10.32}\approx 656$ נדבקים.)

תשובה: לאחר כ־10.32 ימים

בבדיקה הראשונה ($t=0$) היו ביישוב ב 100 נדבקים, וביישוב ג פי 40:

לאחר 8 ימים היו 107 נדבקים:

בכל יום מספר הנדבקים מוכפל ב־0.6359, כלומר נשאר 63.59% מהמספר. אחוז הירידה:

תשובה: ירד בכ־36.41% בכל יום

לפי $f(t)=f(0)\cdot q^t$:

• בתחילת 2023 ($t=0$) החוב הוא סכום ההפקדה: $f(0)=10,000$. לכן פונקציות (2) ו־(3), שמתחילות ב־10,150, נפסלות.

• ריבית של 1.5% בשנה פירושה שבכל שנה החוב מוכפל ב־$q=1+0.015=1.015$. פונקציה (4) מתאימה לגידול של 50% בשנה.

תשובה: פונקציה (1): $f(t)=10,000\cdot 1.015^t$

תשובה: כ־13,468.55 ש״ח.

הסכום ההתחלתי 1,000 ש״ח, וריבית של 15% בשנה, כלומר $q=1+0.15=1.15$:

תשובה: $g(t)=1000\cdot 1.15^t$

בנקודה $t=0$: $f(0)=10,000$ ו־$g(0)=1000$. הקו המקווקו חותך את ציר ה־$y$ גבוה יותר, ולכן הוא מתאר את $f(t)$.

זה מתאים גם לקצב הגידול: $f(t)$ גדלה ב־1.5% בלבד בשנה (גרף מתון), ו־$g(t)$ ב־15% (גרף תלול).

תשובה: $f(t)$ – החוב של הבנק לדני.

נמצא מתי שני החובות שווים (נקודת החיתוך של הגרפים):

אחרי נקודת החיתוך החוב של יעל גדול יותר (הגרף שלו תלול יותר). הבנק מברר את המאזן בתחילת כל שנה, כלומר עבור $t$ שלם, והשלם הראשון אחרי 18.44 הוא $t=19$:

(ובתחילת השנה שלפני, $t=18$: $f(18)\approx 13,073>g(18)\approx 12,375$.)

$t=19$ שנים אחרי תחילת 2023 הוא תחילת שנת $2023+19=2042$.

תשובה: בתחילת שנת 2042.

נשתמש בנוסחה $M(t)=M_0\cdot q^t$: $M_0$ – הכמות ההתחלתית, $q$ – גורם הגדילה.

ביישוב א': $M(t)=10\cdot 1.5^t$ – מתחילים ב־10 נדבקים, $q=1.5>1$ (פונקציה עולה).

ביישוב ב': $G(t)=100\cdot 1.2^t$ – מתחילים ב־100 נדבקים, $q=1.2>1$ (פונקציה עולה).

גרף I יורד, ולכן אינו מתאים לאף אחד מהם. מבין הגרפים העולים, גרף II מתחיל בערך גבוה יותר (100) וגרף III מתחיל בערך נמוך יותר (10) ועולה בקצב מהיר יותר (1.5 לעומת 1.2).

תשובה: יישוב א': גרף III
יישוב ב': גרף II

תשובה: כ־430 נדבקים

נשווה בין שתי הפונקציות:

נחלק ב־$10\cdot 1.2^t$:

נוציא $\ell n$ משני האגפים:

(בדיקה: $G(10.32)\approx 656$ וגם $M(10.32)\approx 656$.)

שימו לב: בתשובות של מלומד מופיע 10.31 (קיצוץ); בעיגול נכון $t\approx 10.32$, כמו אצל גבע.

תשובה: לאחר כ־10.32 ימים

ביישוב ג' בבדיקה הראשונית היו פי 40 נדבקים מאשר ביישוב ב':

לאחר 8 ימים מספר הנדבקים ביישוב ג' היה רבע ממספר הנדבקים ביישוב ב' (סעיף ב):

נציב בנוסחה $N(t)=N_0\cdot q^t$:

גורם הדעיכה $q=1-\frac{p}{100}$, לכן:

שימו לב: בפתרון של גבע מעגלים קודם את $N(8)$ ל־108 ומקבלים $q=0.6367$ ו־$36.33\%$. בלי עיגול ביניים מתקבל $36.37\%$ – כמו בתשובות של מלומד.

תשובה: ירד בכ־36.37% בכל יום

נבדוק כל יישוב במהלך 10 הימים:

יישוב א':

$M(t)$ עולה, ולכן במהלך 10 הימים מספר הנדבקים לא הגיע ל־600 – בתי הספר ביישוב א' לא ייסגרו.

יישוב ב':

$619.2>600$, ולכן ביישוב ב' יסגרו את בתי הספר. (המספר מגיע ל־600 כאשר $1.2^t=6$, כלומר $t=\frac{\ell n6}{\ell n1.2}\approx 9.83$ – ביום העשירי.)

יישוב ג': כבר בבדיקה הראשונית היו 4,000 נדבקים – יותר מ־600, ולכן בתי הספר ביישוב ג' נסגרו כבר בתחילת התקופה.

תשובה: כן – ביישוב ב' (ביום העשירי) וביישוב ג' (כבר מההתחלה).
ביישוב א' לא.

לפי $M(t)=M_0\cdot q^t$, עם $M_0=104$ (ביום הגילוי) ו־$M(5)=200$:

תשובה: פי 1.1397 (בערך 1.14) בכל חודש

מיום החיסון: $M_0=200$, ואחרי 3 חודשים נשאר 40% מזה, כלומר $0.4\cdot 200=80$:

בכל חודש נשאר 73.68% מהחולים, לכן אחוז הירידה:

שימו לב: בתשובות של מלומד מופיע 26.31%; החישוב המדויק נותן $1-\sqrt[3]{0.4}=0.26319\dots$, כלומר 26.32% (כמו בפתרון של גבע).

תשובה: ירד ב־26.32% בכל חודש

נמצא כמה זמן אחרי החיסון ירד מספר החולים ל־20:

לזה נוסיף את 5 החודשים מגילוי הנגיף ועד החיסון:

תשובה: כ־12.54 חודשים

בלי חיסון, הגדילה הייתה נמשכת עם $q=1.1397$ במשך כל 12.54 החודשים, החל מ־104 חולים:

תשובה: בערך 536 חולים