בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳

הפולינום $2x^2-11x+14$ ו־$e^{4-x}$ מוגדרים לכל $x$, ולכן גם המכפלה שלהם.

תשובה: כל $x$

חיתוך עם ציר ה־$x$: $e^{4-x}>0$, לכן:

$x=3.5$ או $x=2$.

חיתוך עם ציר ה־$y$:

תשובה: $(2,0)$, $(3.5,0)$, $(0,14e^4)$

נגזור לפי כלל המכפלה (הנגזרת של $e^{4-x}$ היא $-e^{4-x}$):

(למשל $f^{\prime }(0)=-25e^4<0$, $f^{\prime }(3)=2e>0$, $f^{\prime }(6)=-7e^{-2}<0$.)

תשובה: מינימום $(2.5,-e^{1.5})$, מקסימום $\left(5,\frac{9}{e}\right)$

כאשר $x\to \infty$ הגרף מתקרב לציר ה־$x$ מלמעלה, וכאשר $x\to -\infty$ הוא עולה מאוד. הסקיצה אינה בקנה מידה ($14e^4\approx 764$, לעומת $-e^{1.5}\approx -4.48$ ו־$\frac{9}{e}\approx 3.31$):

תשובה:

נבדוק את התכונות של $f^{\prime }(x)=e^{4-x}(-2x^2+15x-25)$:

• נקודות האפס של הנגזרת: $x=2.5$ ו־$x=5$ – שתיהן חיוביות.
• $f^{\prime }(0)=e^4\cdot (-25)=-25e^4<0$ – גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$y$ מתחת לראשית.
• $f^{\prime }(x)>0$ רק בתחום $2.5<x<5$, וכאשר $x>5$ הנגזרת שלילית ומתקרבת ל־0.

בגרף I $f^{\prime }(0)>0$, ובגרף III $f^{\prime }(0)=0$ – שניהם לא מתאימים. בגרף II $f^{\prime }(0)<0$, הוא חיובי בין שתי נקודות אפס חיוביות ושלילי אחריהן – מתאים.

תשובה: גרף II (רק בו $f^{\prime }(0)<0$).

$f(x)<0$ כאשר הגרף של $f$ מתחת לציר ה־$x$: $2<x<3.5$.

$f^{\prime }(x)<0$ כאשר הפונקציה יורדת: $x<2.5$ או $x>5$.

שני התנאים מתקיימים יחד ב־$2<x<2.5$.

תשובה: $2<x<2.5$

גרף הנגזרת יוצר עם ציר ה־$x$ שטח סגור בין נקודות האפס $x=2.5$ ו־$x=5$, ושם הוא מעל ציר ה־$x$. פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$:

תשובה: $S=\frac{9}{e}+e^{1.5}\approx 7.793$