בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד א׳

תשובה: $x\ne \ell n3$

ב־$x=\ell n3$ המכנה מתאפס והמונה $e^{2\ell n3}=9\ne 0$, לכן זו אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=\ell n3$

חיתוך עם ציר ה־$y$:

חיתוך עם ציר ה־$x$: המונה $e^{2x}>0$ לכל $x$, לכן אין.

תשובה: $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$
אין חיתוך עם ציר ה־$x$.

נגזור לפי כלל המנה:

תשובה: $(\ell n6,12)$ – מינימום

המכנה $(e^x-3{)}^2$ והגורם $e^{2x}$ חיוביים, לכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ הוא הסימן של $e^x-6$:

תשובה: עולה: $x>\ell n6$
יורדת: $x<\ell n3$, $\ell n3<x<\ell n6$.

כאשר $x\to -\infty$ המונה מתקרב ל־0 והמכנה ל־$-3$, לכן הגרף מתקרב לציר ה־$x$ מלמטה. משמאל לאסימפטוטה $x=\ell n3$ הפונקציה שלילית ויורדת; מימין לה חיובית – יורדת עד המינימום $(\ell n6,12)$ ואחר כך עולה.

תשובה:

$g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(x)$, לכן $g^{\prime }(x)=0$ באותה נקודה $x=\ell n6$, וסימני הנגזרת מתהפכים: $g$ עולה כאשר $f$ יורדת ולהפך. המינימום של $f$ הופך למקסימום של $g$.

תשובה: $(\ell n6,3)$ – מקסימום

נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$: $g(x)=0$, כלומר $f(x)=15$.

• בתחום $x<\ell n3$ הפונקציה $f$ שלילית, לכן אין שם פתרון.
• בתחום $x>\ell n3$: $f$ יורדת מאינסוף עד 12 ואחר כך עולה לאינסוף. מכיוון ש־$15>12$, הישר $y=15$ חותך את הגרף פעמיים – פעם בירידה ופעם בעלייה.

(או: ל־$g$ מקסימום $3>0$ מימין לאסימפטוטה, ומשני צדי המקסימום $g$ יורדת למינוס אינסוף – לכן היא חותכת את ציר ה־$x$ פעמיים.)

תשובה: שתי נקודות חיתוך