סדרות

מספרי הבקבוקים שאספו תלמידי י״ב1 בכל שבוע הם סדרה הנדסית עם מנה $q$.

האיבר הרביעי גדול פי 3.375 מהאיבר הראשון:

תשובה: $q=1.5$

השבוע האחרון הוא השבוע החמישי, כלומר $a_5=a_1{q}^4$:

תשובה: 400 בקבוקים בשבוע הראשון.

אצל תלמידי י״ב2 מספרי הבקבוקים הם סדרה חשבונית עם הפרש $d$, ו־18 איברים.

בשבוע השני: $a_2=a_1+d=230$, ולכן $a_1=230-d$.

סכום 18 האיברים:

נציב $a_1=230-d$:

תשובה: $d=16$

מספר הבקבוקים של י״ב1 – סכום 5 איברים של הסדרה ההנדסית:

מספר הבקבוקים של י״ב2 נתון: 6,300.

סך הכול: $5275+6300=11575$ בקבוקים.

הסכום שקיבלו:

זה יותר מ־3,400 שקלים, ולכן הסכום יספיק למימון עלות המסיבה.

תשובה: כן – הם קיבלו 3,472.5 שקלים, יותר מ־3,400.

כמות הגלידה שהוכנה בכל יום היא סדרה חשבונית: $a_1$ – הכמות ביום הראשון, $d=3$.

הכמות ביום הרביעי: $a_4=a_1+3d=a_1+9$. לפי הנתון:

תשובה: 70 ק״ג

הכינו גלידה במשך 16 ימים, לכן נחשב את סכום 16 האיברים הראשונים:

תשובה: 1,480 ק״ג

גם הכמויות של גלידת הווניל הן סדרה חשבונית, עם הפרש $d$. נסמן ב־$b_1$ את הכמות ביום הראשון.

ביום האחרון (היום ה־16): $b_{16}=115$.

הכמות הכוללת קטנה ב־480 ק״ג מכמות השוקולד:

לסדרה חשבונית אפשר להשתמש גם בנוסחה $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$:

עכשיו נמצא את $d$ מנוסחת האיבר הכללי:

תשובה: $d=7$

כל הגלידה שהוכנה נמכרה בחמשת ימי המכירה:

הכמויות שנמכרו בכל יום הן סדרה הנדסית עם מנה $q=2$. נסמן ב־$a_1$ את הכמות שנמכרה ביום הראשון. סכום 5 האיברים הראשונים:

תשובה: 80 ק״ג

כמויות הספרים שנמכרו בכל יום יוצרות סדרה הנדסית: כל יום פי 2 מהיום שלפניו, לכן $q=2$. נסמן ב־$a_1$ את מספר הספרים שנמכרו ביום הראשון.

בשלושת הימים הראשונים נמכרו 420 ספרים:

(אפשר גם לפי נוסחת הסכום: $S_3=\frac{a_1(2^3-1)}{2-1}=7a_1$.)

תשובה: ביום הראשון נמכרו 60 ספרים.

מספר הספרים שנמכרו בכל 7 ימי היריד הוא סכום 7 האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית ($a_1=60,q=2$):

כל ספר נמכר ב־50 שקלים, לכן סך ההכנסות:

תשובה: 381,000 שקלים.

התרומה היא מחצית ההכנסות:

הסכומים שנתרמו בכל חודש יוצרים סדרה חשבונית: $a_1=4315,d=315$. נסמן ב־$n$ את מספר החודשים. סכום כל התרומות הוא 190,500:

נחלק ב־5:

הפתרונות: $n=24$ או $n=-\frac{3175}{63}$ (שלילי – נפסל, כי $n$ מספר חודשים).

תשובה: 24 חודשים.

יש 24 חודשים, ולכן שני החודשים האמצעיים הם החודש ה־12 והחודש ה־13.

(בדיקה: בסדרה חשבונית סכום שני האיברים האמצעיים שווה ל־$a_1+a_{24}$, ו־$\frac{24}{2}\cdot 15,875=190,500$ ✓.)

תשובה: 15,875 שקלים.

הפיקדונות יוצרים סדרה חשבונית: $a_1$ – הפיקדון בחודש הראשון, $d$ – ההפרש הקבוע.

לפי הנתונים:

מהמשוואה השנייה: $4d=2a_1$, כלומר $a_1=2d$. נציב בראשונה:

תשובה: 840 שקלים

נחפש $n$ שבעבורו $S_n=22680$:

$n=9$ או $n=-12$. מספר החודשים חיובי, לכן $n=9$.

תשובה: אחרי 9 חודשים

הפיקדון שהייתה אמורה להעביר בחודש ה־12:

התשלומים יוצרים סדרה הנדסית עם $q=3$, וסכום 4 התשלומים הוא מחיר המקרר:

תשובה: 136.5 שקלים

נכתוב כל איבר בעזרת $a_1$ ו־$d$ (לפי $a_n=a_1+(n-1)d$):

בסדרה 57 איברים, והאיבר האחרון ($a_{57}$) הוא 171:

נציב $a_1=d$:

ולכן גם $a_1=3$.

תשובה: $d=3$, $a_1=3$

נמצא את האיברים של $A$ שמופיעים בנתונים:

לכן $b_1=a_6=18$, ו־$3b_3=a_8=24$, כלומר $b_3=8$.

בסדרה הנדסית $b_3=b_1{q}^2$:

תשובה: $q=\frac{2}{3}$ או $q=-\frac{2}{3}$

הסדרה אינה עולה ואינה יורדת, ולכן המנה שלילית (האיברים מחליפים סימן): $q=-\frac{2}{3}$. כאשר $q=\frac{2}{3}$ והאיבר הראשון חיובי, הסדרה יורדת – לכן אפשרות זו נפסלת.

האיברים במקומות הזוגיים $b_2,b_4,b_6,\dots$ יוצרים סדרה הנדסית אינסופית:

המנה שלה היא $q^2=\frac{4}{9}$ (כל איבר זוגי מתקבל מהקודם לו ע״י הכפלה ב־$q$ פעמיים). $|q^2|<1$, ולכן הסדרה מתכנסת וסכומה:

תשובה: $-21.6$

לפי נוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1{q}^{n-1}$:

נחלק ב־$a_{1}q$ (אינו אפס בסדרה הנדסית):

תשובה: $q=3$ או $q=-3$

כל האיברים חיוביים, לכן $q=3$ (אם $q=-3$ האיברים מתחלפים בסימן).

בסדרה יש 10 איברים, ולכן שני האיברים האמצעיים הם $a_5$ ו־$a_6$:

תשובה: $a_1=6$

סכום הסדרה A (10 איברים):

סכום A גדול פי 11 מסכום B:

תשובה: 16,104

נסמן ב־$b_1$ את האיבר הראשון של B וב־$d$ את ההפרש. האיבר השני גדול פי 46 מההפרש:

סכום 33 האיברים שווה ל־16,104 (סעיף ג):

תשובה: $d=8$

לפי $a_n=a_1+(n-1)d$ עם $d=5$:

תשובה: $a_1=-48$

בסדרה 23 איברים. האיברים במקומות האי־זוגיים הם $a_1,a_3,a_5,\dots ,a_{23}$ – יש 12 כאלה.

הם יוצרים סדרה חשבונית חדשה: האיבר הראשון $-48$, וההפרש $2\cdot 5=10$ (מדלגים כל פעם על איבר אחד).

תשובה: 84

תשובה: $-45$

ההפרש בסדרה החדשה הוא ההפרש בין שני איברים סמוכים:

תשובה: $d+5$

גם בסדרה החדשה 23 איברים, האיבר הראשון $-45$ וההפרש $d+5$:

נכפיל ב־$\frac{2}{23}$:

תשובה: $d=11$

מספרי הנוסעים בקרונות (ביום א׳) יוצרים סדרה חשבונית בת 11 איברים, ו־$a_{11}=3a_1$.

נשתמש בנוסחת הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$:

תשובה: 10 נוסעים

נמצא את ההפרש: $a_{11}=3\cdot 10=30$.

יש 11 קרונות, לכן הקרון האמצעי הוא השישי:

תשובה: 20 נוסעים

הקרונות האי־זוגיים: $a_1,a_3,a_5,\dots ,a_{11}$ – 6 קרונות. גם הם סדרה חשבונית: האיבר הראשון 10 וההפרש $2d=4$, והאיבר האחרון $a_{11}=30$.

תשובה: 120 נוסעים

ביום ב׳ היו ברכבת $2\cdot 220=440$ נוסעים. זו סדרה חשבונית עם $b_1=5$, $d=3$, ונחפש את מספר הקרונות $n$:

$n=16$ (הפתרון השני שלילי ונפסל). ביום ב׳ היו 16 קרונות, ולכן הוסיפו:

תשובה: 5 קרונות

מספרי המחשבים שיוצרו בכל שבוע יוצרים סדרה חשבונית: $a_1=900$, ו־$d$ הוא הגידול השבועי. ב־50 שבועות יוצרו 167,500 מחשבים:

תשובה: ב־100 מחשבים.

מספרי המחשבים שנמכרו בכל חודש יוצרים סדרה הנדסית עם מנה $q$.

נחלק את המשוואה השנייה בראשונה:

תשובה: 20 מחשבים.

החודש ה־7 הוא האמצעי: לפניו 6 חודשים, ולכן גם אחריו 6 חודשים.

תשובה: 13 חודשים.

מספר המחשבים שנמכרו ב־13 החודשים:

יוצרו 167,500 מחשבים, ולכן לא נמכרו:

תשובה: 3,680 מחשבים.