בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד א׳

נקודות הקיצון של $f(x)$ הן הנקודות שבהן $f^{\prime }(x)=0$ ו־$f^{\prime }(x)$ מחליפה סימן – כלומר נקודות החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה־$x$ (ולא נקודות הקיצון של גרף הנגזרת).

בסרטוט גרף $f^{\prime }(x)$ חותך את ציר ה־$x$ בשתי נקודות. נסמן אותן $x_1<x_2$:

• ב־$x_1$ הנגזרת עוברת משלילית לחיובית – $f(x)$ עוברת מירידה לעלייה: נקודת מינימום.
• ב־$x_2$ הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית – $f(x)$ עוברת מעלייה לירידה: נקודת מקסימום.

I. לא נכון – לפונקציה $f(x)$ יש בדיוק שתי נקודות קיצון (שלוש נקודות הקיצון בסרטוט הן של גרף הנגזרת).

II. לא נכון – נקודת המינימום היא ב־$x_1$ ונקודת המקסימום ב־$x_2$, ו־$x_1<x_2$. כלומר שיעור ה־$x$ של המינימום קטן משיעור ה־$x$ של המקסימום.

תשובה: I – לא נכון (יש 2 נקודות קיצון). II – לא נכון (המינימום משמאל למקסימום).

תחום ההגדרה הוא $x>0$, לכן אין חיתוך עם ציר ה־$y$.

חיתוך עם ציר ה־$x$:

תשובה: $(1,0)$ בלבד (אין חיתוך עם ציר ה־$y$).

נגזור לפי כלל המנה. הנגזרת של $(\ell nx{)}^2$ היא $2\ell nx\cdot \frac{1}{x}$:

נשווה לאפס ($x^3>0$ בתחום):

(למשל $f^{\prime }(0.5)<0$, $f^{\prime }(2)>0$, $f^{\prime }(4)<0$.)

תשובה: מינימום $(1,0)$, מקסימום $\left(e,\frac{14}{e^2}\right)$

לפי טבלת הסימנים בסעיף ב (2):

עלייה: $1<x<e$.

ירידה: $0<x<1$ וגם $x>e$.

(זה מתאים לסרטוט של $f^{\prime }(x)$: הנגזרת חיובית רק בין שתי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה־$x$.)

תשובה: עולה: $1<x<e$
יורדת: $0<x<1$, $x>e$.

נשתמש בסעיפים הקודמים: הפונקציה מוגדרת עבור $x>0$, אינה שלילית (ריבוע חלקי ריבוע), יורדת עד המינימום $(1,0)$ שעל ציר ה־$x$, עולה עד המקסימום $\left(e,\frac{14}{e^2}\right)$ ואחר כך יורדת.

כאשר $x$ מתקרב ל־0 מימין, $f(x)$ שואפת לאינסוף, וכאשר $x$ גדל מאוד $f(x)$ מתקרבת ל־0.

תשובה:

$g(x)=f(x-4)$ מוגדרת כאשר הביטוי $x-4$ נמצא בתחום ההגדרה של $f$:

(גרף $g$ הוא גרף $f$ מוזז 4 יחידות ימינה.)

תשובה: $x>4$

גרף $g(x)$ מתקבל מגרף $f(x)$ על ידי הזזה של 4 יחידות ימינה. הזזה אופקית לא משנה את סוג נקודות הקיצון ולא את שיעורי ה־$y$ שלהן – רק מוסיפה 4 לשיעורי ה־$x$:

תשובה: מינימום $(5,0)$, מקסימום $\left(e+4,\frac{14}{e^2}\right)$