מצגת הסבר – סדרות

12 שקפים · סדרה חשבונית והנדסית, שתי סדרות בשאלה אחת, סכום סדרה אין־סופית

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דסדרות · מצגת הסבר

סדרות

מצגת הסבר – סדרה חשבונית, סדרה הנדסית וסדרה הנדסית אין־סופית

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35472תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354721 / 12

בס״דסדרות · מצגת הסבר

מה נלמד?

שאלת הסדרות היא בדרך כלל שאלה 1 בשאלון – לרוב שאלה מילולית עם שתי סדרות: אחת חשבונית ואחת הנדסית.

לזהות את סוג כל סדרה
לתרגם כל נתון למשוואה עם $a_{1}$ , $d$ או $q$
למצוא איבר $a_{n}$ , מקום $n$ או סכום $S_{n}$
סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת – סכום $S$

המילים בשאלה מגלות את הסוג

„יותר ב־ $d$ מהקודם” ← מוסיפים מספר קבוע ← חשבונית

„גדול פי $q$ מהקודם” ← כופלים במספר קבוע ← הנדסית

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354722 / 12

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שני סוגי סדרות

סדרה חשבונית

כל איבר = הקודם ועוד מספר קבוע $d$ (ההפרש).

4, 10, 16, 22, \dots

$d = 10 - 4 = 6$

$d > 0$ ← עולה. ‏ $d < 0$ ← יורדת.

סדרה הנדסית

כל איבר = הקודם כפול מספר קבוע $q$ (המנה).

48, - 24, 12, - 6, \dots

$q = - 24 : 48 = - \frac{1}{2}$

$q < 0$ ← האיברים מחליפים סימן: הסדרה לא עולה ולא יורדת.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354723 / 12

בס״דסדרות · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · סדרות

	סדרה חשבונית	סדרה הנדסית
כלל נסיגה	$a_{1} = a, a_{n + 1} = a_{n} + d$	$a_{1} = a, a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$
איבר $n$ ־י	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$	$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$
סכום	$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ $S_{n} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$	$S_{n} = \frac{a _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}, q \neq = 1$
סדרה אין־סופית שסכומה מתכנס	–	$S = \frac{a _{1}}{1 - q}$

לזכור (לא בנוסחאון): סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת כאשר $- 1 < q < 1$ ‏( $q \neq = 0$ ).

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354724 / 12

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

מזהים את סוג כל סדרה (יותר ב־ / פי).
רושמים כל נתון בעזרת $a_{1}$ ו־ $d$ (או $a_{1}$ ו־ $q$ ): למשל $a_{4} = a_{1} q^{3}$ .
פותרים את המשוואה (או מערכת של שתיים).
„סך הכול” ← סכום $S_{n}$ . „בשבוע ה־ $n$ ” ← איבר $a_{n}$ .
בודקים: $n$ טבעי, ובסדרה אין־סופית $- 1 < q < 1$ .

דוגמה: יחס בין איברים

„האיבר הרביעי גדול פי 3.375 מהראשון”

a_{1} q^{3} = 3.375 a_{1}

q^{3} = 3.375

q = 3 3.375 = 1.5

$a_{1}$ מצטמצם – לא צריך לדעת אותו!

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354725 / 12

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – בקבוקים למחזור (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

תלמידי י״ב1 אספו בקבוקים במשך 5 שבועות. בכל שבוע אספו פי $q$ מהשבוע שלפניו. בשבוע הרביעי אספו פי 3.375 מבשבוע הראשון. א. מצאו את $q$ .

„פי $q$ ” ← סדרה הנדסית:

a_{4} = a_{1} q^{3} = 3.375 a_{1}

q^{3} = 3.375 \Rightarrow q = 1.5

$q = 1.5$

ב. בשבוע הראשון ובשבוע האחרון יחד אספו 2,425 בקבוקים. כמה אספו בשבוע הראשון?

השבוע האחרון הוא החמישי: $a_{5} = a_{1} q^{4}$

a_{1} + a_{1} q^{4} = 2425

a_{1} (1 + 1. 5^{4}) = 2425

a_{1} \cdot 6.0625 = 2425 \Rightarrow a_{1} = 400

400 בקבוקים

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354726 / 12

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – בקבוקים למחזור (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

י״ב2 אספו במשך 18 שבועות, בכל שבוע $d$ בקבוקים יותר מהקודם. בשבוע השני – 230, ובסך הכול – 6,300. מצאו את $d$ .

„יותר ב־ $d$ ” ← חשבונית. ‏ $a_{2} = a_{1} + d = 230$ , לכן $a_{1} = 230 - d$ .

S_{18} = \frac{18}{2} [2 a_{1} + 17 d] = 6300

2 a_{1} + 17 d = 700

2 (230 - d) + 17 d = 700

460 + 15 d = 700 \Rightarrow d = 16

על כל בקבוק קיבלו 0.3 ש״ח. המסיבה עולה 3,400 ש״ח. האם הסכום יספיק?

י״ב1 – סכום 5 איברים בסדרה ההנדסית:

S_{5} = \frac{400 ( 1. 5 ^{5} - 1 )}{1.5 - 1} = 5275

5275 + 6300 = 11575

11575 \cdot 0.3 = 3472.5

כן – 3,472.5 ש״ח, יותר מ־3,400

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354727 / 12

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – שתי סדרות (א)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 1

סדרה חשבונית $A$ בת 57 איברים. נתון: $a_{2} + a_{4} = a_{6}$ , והאיבר האחרון הוא 171. א. מצאו את $d$ ואת $a_{1}$ .

כותבים כל איבר בעזרת $a_{1}$ ו־ $d$ :

(a_{1} + d) + (a_{1} + 3 d) = a_{1} + 5 d

2 a_{1} + 4 d = a_{1} + 5 d \Rightarrow a_{1} = d

האיבר האחרון הוא $a_{57}$ :

a_{57} = a_{1} + 56 d = 171

מציבים $a_{1} = d$ :

d + 56 d = 171

57 d = 171 \Rightarrow d = 3

$d = 3, a_{1} = 3$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354728 / 12

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – שתי סדרות (ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 1

סדרה הנדסית אין־סופית $B$ : ‏ $b_{1} = a_{6}$ ו־ $3 b_{3} = a_{8}$ . מצאו את $q$ .

a_{6} = 3 + 5 \cdot 3 = 18

a_{8} = 3 + 7 \cdot 3 = 24

לכן $b_{1} = 18$ , ו־ $b_{3} = 24 : 3 = 8$ .

18 q^{2} = 8 \Rightarrow q^{2} = \frac{4}{9}

q = \pm \frac{2}{3}

$B$ לא עולה ולא יורדת. מצאו את סכום האיברים במקומות הזוגיים.

לא עולה ולא יורדת ← $q = - \frac{2}{3}$ .

$b_{2}, b_{4}, b_{6}, \dots$ – סדרה הנדסית עם $b_{2} = 18 \cdot (- \frac{2}{3}) = - 12$ ומנה $q^{2} = \frac{4}{9}$ :

S = \frac{- 12}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{- 12}{\frac{5}{9}} = - 21.6

$- 21.6$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354729 / 12

בס״דסדרות · מצגת הסבר

סדרת האיברים במקומות הזוגיים

בסדרה הנדסית עם מנה $q$ , לוקחים רק את $b_{2}, b_{4}, b_{6}, \dots$

b_{4} = b_{2} \cdot q \cdot q = b_{2} \cdot q^{2}

כלומר מתקבלת שוב סדרה הנדסית:

האיבר הראשון שלה: $b_{2} = b_{1} q$
המנה שלה: $q^{2}$

אותו דבר במקומות האי־זוגיים: מתחילים ב־ $b_{1}$ , והמנה $q^{2}$ .

למה $q^{2}$ ולא $q$ ?

בין $b_{2}$ ל־ $b_{4}$ יש שני צעדים של כפל ב־ $q$ .

- 12 \cdot q 8 \cdot q - \frac{16}{3}

‏ $- 12 \cdot \frac{4}{9} = - \frac{16}{3}$ ✓

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547210 / 12

בס״דסדרות · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

„יותר ב־” ← חשבונית ( $d$ ). „פי” ← הנדסית ( $q$ ).
באיבר ה־ $n$ החזקה היא $n - 1$ : ‏ $a_{5} = a_{1} q^{4}$ .
„השבוע האחרון” – מבינים מהשאלה מה מספרו (5 שבועות ← $a_{5}$ ).

$q^{2} = \frac{4}{9}$ ← שתי אפשרויות $\pm \frac{2}{3}$ , ובוחרים לפי הנתונים.
„סך הכול” ← סכום $S_{n}$ , לא $a_{n}$ .
סכום אין־סופי – רק כש־ $- 1 < q < 1$ . במקומות הזוגיים: איבר ראשון $b_{2}$ ומנה $q^{2}$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547211 / 12

בס״דסדרות · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

בסדרה חשבונית $a_{1} = 7, d = 4$ . מצאו את $a_{15}$ ואת $S_{15}$ .
באותה סדרה: איזה מקום תופס האיבר 99?
בסדרה הנדסית $a_{1} = 5, q = 2$ . מצאו את $a_{6}$ ואת $S_{6}$ .
סדרה הנדסית אין־סופית: $a_{1} = 18, q = - 0.5$ . מהו סכומה?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$a_{15} = 7 + 14 \cdot 4 = 63$
$S_{15} = \frac{15 ( 7 + 63 )}{2} = 525$
$7 + 4 (n - 1) = 99 \Rightarrow n = 24$
$a_{6} = 5 \cdot 2^{5} = 160$
$S_{6} = \frac{5 ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1} = 315$
$S = \frac{18}{1 - ( - 0.5 )} = \frac{18}{1.5} = 12$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547212 / 12

› לכל המצגות

מצגת הסבר – סדרות

סדרות

מה נלמד?

המילים בשאלה מגלות את הסוג

שני סוגי סדרות

סדרה חשבונית

סדרה הנדסית

הנוסחאות מהנוסחאון

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

דוגמה: יחס בין איברים

שאלת בגרות פתורה – בקבוקים למחזור (א, ב)

שאלת בגרות פתורה – בקבוקים למחזור (ג, ד)

שאלת בגרות פתורה – שתי סדרות (א)

שאלת בגרות פתורה – שתי סדרות (ב, ג)

סדרת האיברים במקומות הזוגיים

למה q2 ולא q?

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

למה $q^{2}$ ולא $q$ ?