בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳

לפונקציה מקסימום אחד ומינימום אחד, והמינימום מימין למקסימום. לכן הנגזרת מתאפסת בשתי נקודות ומשנה בהן סימן, ומשמאל לימין סדר הסימנים של $f^{\prime }(x)$ הוא:

(עלייה עד המקסימום, ירידה עד המינימום, ואז עלייה.)

• גרף II: חיובי, אחר כך שלילי, ואחר כך חיובי – מתאים.

• גרף I: הסדר $-,+,-$ – מתאים למינימום משמאל למקסימום.

• גרף III: הגרף חותך את ציר ה־$x$ שלוש פעמים – היו שלוש נקודות קיצון.

• גרף IV: הגרף רק משיק לציר ה־$x$ ולא משנה סימן – לא הייתה אף נקודת קיצון.

תשובה: גרף II.

חיתוך עם ציר ה־$y$: $x=0$ אינו בתחום ($x>0$), לכן אין.

חיתוך עם ציר ה־$x$:

$x\ne 0$, לכן $(\ell nx{)}^2=0$, כלומר $\ell nx=0$ ו־$x=1$.

תשובה: $(1,0)$; אין חיתוך עם ציר ה־$y$.

נגזור לפי כלל המכפלה:

$f^{\prime }(x)=0$: $\ell nx=0\Rightarrow x=1$, או $\ell nx=-2\Rightarrow x=e^{-2}$.

תשובה: $\max \left(e^{-2},\frac{12}{e^2}\right)$, $\min (1,0)$

הגרף של $f(x)$ צריך להיות: מוגדר רק עבור $x>0$ (עיגול ריק בראשית), עולה עד מקסימום ב־$x=e^{-2}$ (קרוב לציר ה־$y$), יורד עד מינימום ב־$(1,0)$ – כלומר נוגע בציר ה־$x$ – ואחר כך עולה. בנוסף $f(x)\ge 0$ לכל $x$ בתחום.

גרף IV מתאים לכל התכונות. (גרף III יורד מתחת לציר ה־$x$, וגרפים I ו־II אינם מתאימים לסדר עלייה–ירידה–עלייה.)

תשובה: גרף IV.

גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$x$ ב־$x=e^{-2}$ וב־$x=1$, וביניהן $f^{\prime }(x)<0$ (הגרף מתחת לציר).

הפונקציה הקדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$, לכן:

תשובה: $\frac{12}{e^2}\approx 1.624$ יחידות שטח