בגרות חורף תשפ״ו (2026)

לפונקציה $f(x)$ יש מינימום אחד ושני מקסימומים, לכן הנגזרת מתאפסת ב־3 נקודות, ובהן משנה סימן כך:

בנקודת מקסימום $f^{\prime }(x)$ עוברת מ־$+$ ל־$-$, ובנקודת מינימום מ־$-$ ל־$+$. בין שני המקסימומים חייב להיות המינימום, ולכן סדר הסימנים של $f^{\prime }(x)$ משמאל לימין הוא:

בגרף I: משמאל הגרף מעל ציר ה־$x$, אחר כך מתחתיו, אחר כך מעליו ובסוף מתחתיו – בדיוק הסדר $+,-,+,-$ (מקסימום, מינימום, מקסימום).

בגרף II הסדר הפוך: $-,+,-,+$ – זה מתאים לשני מינימומים ומקסימום אחד, בניגוד לנתון.

תשובה: גרף I.

חיתוך עם ציר ה־$x$: $f(x)=0$. המכנה $e^{x^2+2}$ תמיד חיובי, לכן מספיק שהמונה יתאפס:

תשובה: $(0,0)$

הפונקציה מוגדרת לכל $x$ (תחום סימטרי), ולכל $x$:

לכן $f(x)$ פונקציה זוגית.

תשובה: $f(-x)=f(x)$ לכל $x$, לכן $f(x)$ זוגית.

נגזור לפי נגזרת של מנה:

נצמצם ב־$e^{x^2+2}$:

$f^{\prime }(x)=0$: המכנה חיובי, לכן $12x(1-x^2)=0$, כלומר $x=0$ או $x=1$ או $x=-1$.

תשובה: $\min (0,0)$, $\max \left(1,\frac{6}{e^3}\right)$, $\max \left(-1,\frac{6}{e^3}\right)$

לפי מה שמצאנו: הגרף עובר בראשית (מינימום), יש שני מקסימומים ב־$x=\pm 1$, הוא סימטרי ביחס לציר ה־$y$ (זוגית), והפונקציה חיובית לכל $x\ne 0$. כאשר $x$ גדל מאוד (או קטן מאוד) הערכים מתקרבים ל־0.

תשובה: ראו סקיצה: מינימום ב־$(0,0)$, מקסימומים ב־$x=\pm 1$, הגרף מעל ציר ה־$x$.

גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$x$ ב־$x=-1,0,1$. השטח הסגור בין הגרף לציר ה־$x$ מורכב משני חלקים: בין $-1$ ל־$0$ (הגרף מתחת לציר) ובין $0$ ל־$1$ (הגרף מעל הציר).

הפונקציה הקדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$, לכן:

תשובה: $\frac{12}{e^3}\approx 0.597$ יחידות שטח