בגרות חורף תשפ״ה (2025)

שני תנאים: $\ell nx$ מוגדר רק עבור $x>0$, והמכנה $(\ell nx{)}^2$ לא יכול להתאפס:

תשובה: $x>0$, $x\ne 1$

ב־$x=1$ המכנה מתאפס והמונה $12\cdot 1=12\ne 0$, לכן הישר $x=1$ הוא אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=1$

חיתוך עם ציר ה־$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה – אין.

חיתוך עם ציר ה־$x$: צריך $12x=0$, כלומר $x=0$ – גם הוא לא בתחום. לכן אין לגרף נקודות חיתוך עם הצירים.

תשובה: לא – $x=0$ אינו בתחום ההגדרה, והמונה מתאפס רק ב־$x=0$.

נגזור לפי כלל המנה. הנגזרת של $(\ell nx{)}^2$ היא $2\ell nx\cdot \frac{1}{x}$:

(למשל $f^{\prime }(0.5)>0$, $f^{\prime }(2)<0$, $f^{\prime }(10)>0$.)

תשובה: $(e^2,3e^2)$ – נקודת מינימום

לפי טבלת הסימנים בסעיף ב (1), $f^{\prime }(x)>0$ ב־$0<x<1$ וב־$x>e^2$.

תשובה: $0<x<1$, $x>e^2$

נבדוק את התכונות שמצאנו:

• משמאל לאסימפטוטה ($0<x<1$) הפונקציה עולה וחיובית (מונה ומכנה חיוביים) – הגרף עולה מהנקודה הריקה בראשית אל האסימפטוטה.
• מימין לאסימפטוטה הפונקציה חיובית, יורדת עד מינימום ואחר כך עולה.

בגרפים I ו־III יש מקסימום ולא מינימום מימין לאסימפטוטה, ובגרף II הפונקציה שלילית ויורדת משמאל לאסימפטוטה. רק גרף IV מתאים.

תשובה: גרף IV

עבור $c=4$: $g^{\prime }(x)=f(x)-4$. לנקודת קיצון של $g$ צריך $g^{\prime }(x)=0$ עם החלפת סימן, כלומר נקודה שבה הגרף של $f$ חוצה את הישר $y=4$.

• בתחום $x>1$: הערך הקטן ביותר של $f$ הוא $3e^2\approx 22.17>4$, ולכן $f(x)-4>0$ – אין פתרון.
• בתחום $0<x<1$: $f$ עולה מערכים קרובים ל־0 אל אינסוף, ולכן חוצה את $y=4$ פעם אחת בדיוק. לפני נקודה זו $f(x)<4$ ($g^{\prime }<0$, $g$ יורדת) ואחריה $f(x)>4$ ($g^{\prime }>0$, $g$ עולה).

לכן יש ל־$g$ נקודת קיצון אחת, והיא נקודת מינימום.

תשובה: נקודת קיצון אחת – מינימום.

נקודות הקיצון של $g$ הן נקודות שבהן הגרף של $f$ חוצה את הישר האופקי $y=c$. כדי לקבל שלוש נקודות חיתוך:

• בתחום $0<x<1$ הישר חותך את גרף $f$ פעם אחת לכל $c>0$.
• בתחום $x>1$ הוא חותך פעמיים אם הוא מעל נקודת המינימום, כלומר $c>3e^2$ (פעם בירידה ופעם בעלייה).

לדוגמה $c=30$ (כי $30>3e^2\approx 22.17$): שלוש נקודות חיתוך, ובכל אחת $g^{\prime }$ מחליפה סימן – שלוש נקודות קיצון.

(עבור $c=3e^2$ בדיוק הישר משיק בנקודת המינימום ו־$g^{\prime }$ לא מחליפה שם סימן.)

תשובה: למשל $c=30$ (כל $c>3e^2$ מתאים).