בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד ב׳

המכנה $x^2$ מתאפס ב־$x=0$ (והמונה מוגדר לכל $x$):

תשובה: כל $x$ פרט ל־$x=0$ ($x\ne 0$).

המכנה מתאפס ב־$x=0$, והמונה $e^{ax-1}$ אף פעם לא מתאפס. לכן ב־$x=0$ יש אסימפטוטה אנכית.

תשובה: $x=0$

המונה $e^{ax-1}$ חיובי לכל $x$ (חזקה של $e$ תמיד חיובית), והמכנה $x^2$ חיובי לכל $x\ne 0$. מנה של שני מספרים חיוביים – חיובית.

תשובה: מונה $e^{ax-1}>0$ ומכנה $x^2>0$, לכן $f(x)>0$ בכל התחום.

נציב את הנקודה $\left(-1,\frac{1}{e^3}\right)$:

תשובה: $a=2$

עם $a=2$: $f(x)=\frac{e^{2x-1}}{x^2}$. נגזור לפי נגזרת של מנה:

$f^{\prime }(x)=0$ רק כאשר $x=1$.

תשובה: $\min (1,e)$

לפי מה שמצאנו: $f(x)>0$ לכל $x$, אסימפטוטה אנכית $x=0$ (משני צדיה הגרף שואף ל־$+\infty$), עלייה עבור $x<0$ (כאשר $x\to -\infty$ הגרף מתקרב לציר ה־$x$), ירידה עבור $0<x<1$, מינימום ב־$(1,e)$ ואחר כך עלייה.

תשובה: ראו סקיצה.

נקודה משותפת ל־$g(x)$ ולישר $y=-2e$ מקיימת:

כלומר צריך שהישר האופקי $y=-2e-k$ יחתוך את הגרף של $f(x)$ בדיוק בשתי נקודות. לפי הסקיצה:

• הענף השמאלי ($x<0$) מקבל כל ערך חיובי פעם אחת.

• הענף הימני ($x>0$) מקבל כל ערך הגדול מ־$e$ פעמיים, את הערך $e$ פעם אחת (במינימום), וערכים קטנים מ־$e$ אף פעם.

לכן יש בדיוק שתי נקודות משותפות רק כאשר הישר עובר דרך נקודת המינימום, כלומר $-2e-k=e$:

(עבור $0<-2e-k<e$ יש נקודה אחת, ועבור $-2e-k>e$ יש שלוש.)

תשובה: $k=-3e$