בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד ב׳

הביטוי $\ell nx$ מוגדר רק עבור מספרים חיוביים:

תשובה: $x>0$

חיתוך עם ציר ה־$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה, לכן אין חיתוך עם ציר ה־$y$.

חיתוך עם ציר ה־$x$:

$x^2\ne 0$ בתחום, לכן:

תשובה: $(e^2,0)$ בלבד

נגזור לפי כלל המכפלה:

נשווה לאפס ($x>0$):

(למשל $f^{\prime }(1)=-3<0$, $f^{\prime }(e^2)=e^2>0$.)

תשובה: $\left(e^{1.5},-\frac{1}{2}{e}^3\right)$ – מינימום

נבדוק את התכונות שמצאנו:

• תחום $x>0$ ונקודת חיתוך אחת עם ציר ה־$x$ ($x=e^2$).
• הפונקציה יורדת עד נקודת מינימום ואחר כך עולה.
• כאשר $x$ מתקרב ל־0 מימין, $f(x)$ מתקרבת ל־0 (כי $x^2\to 0$), ולכן הגרף מתחיל ליד ראשית הצירים (נקודה ריקה, כי $x=0$ לא בתחום).

גרף I מתאים לכל התכונות. גרף III לא חותך את ציר ה־$x$, ובגרפים II ו־IV יש מקסימום ולא מינימום.

תשובה: גרף I

$g(x)=a\cdot f(x)$, לכן $g^{\prime }(x)=a\cdot f^{\prime }(x)$, ונקודת הקיצון של $g$ היא באותו $x$: $x=e^{1.5}$.

תשובה: $a=-1.2$

$g(x)=-1.2\cdot f(x)$: הכפלה במספר שלילי הופכת את הגרף (שיקוף ביחס לציר ה־$x$ ומתיחה).

לכן $g^{\prime }(x)=-1.2f^{\prime }(x)$ – הסימנים של הנגזרת מתהפכים: $g$ עולה כאשר $f$ יורדת ויורדת כאשר $f$ עולה. נקודת המינימום של $f$ הופכת לנקודת מקסימום של $g$.

(וגם: $0.6e^3>0$, נקודה מעל ציר ה־$x$.)

תשובה: נקודת מקסימום

לגרף של $g(x)$ יש אותו תחום ($x>0$), אותה נקודת חיתוך עם ציר ה־$x$ ($x=e^2$, כי $g=0$ בדיוק כאשר $f=0$), נקודת מקסימום, וכאשר $x\to 0^{+}$ גם $g(x)\to 0$ (מתחיל בנקודה ריקה בראשית).

גרף IV מתאים. בגרף II הפונקציה שואפת למינוס אינסוף ליד $x=0$, ולכן הוא לא מתאים.

תשובה: גרף IV