בגרות חורף תשפ״ב (2022)

$e^x>0$ לכל $x$, לכן המכנה $e^x$ אף פעם לא מתאפס, וגם $e^x$ מוגדר לכל $x$. תחום ההגדרה: כל $x$.

תשובה: כל $x$

הגרף עובר בראשית הצירים, לכן $f(0)=0$:

מעכשיו:

תשובה: $c=-8.5$

נשווה ל־0 ונכפול ב־$2e^x$ (חיובי):

נסמן $t=e^x$ ($t>0$):

$x=0$ היא ראשית הצירים (נתונה), לכן נקודת החיתוך הנוספת היא $(\ell n16,0)$, כלומר בערך $(2.77,0)$.

תשובה: $(\ell n16,0)\approx (2.77,0)$

נכתוב $\frac{8}{e^x}=8e^{-x}$ ונגזור:

נשווה ל־0 ונכפול ב־$2e^x$:

נבדוק סימן נגזרת משני הצדדים, למשל $f^{\prime }(0)=-8+0.5<0$ ו־$f^{\prime }(3)=-0.4+10.04>0$:

לכן $(\ell n4,-4.5)$ היא נקודת מינימום.

תשובה: מינימום: $(\ell n4,-4.5)\approx (1.39,-4.5)$

נשתמש בנקודות החיתוך $(0,0)$ ו־$(\ell n16,0)$ ובמינימום $(\ell n4,-4.5)$. כאשר $x\to \infty$ האיבר $\frac{e^x}{2}$ גדל ללא גבול, וכאשר $x\to -\infty$ האיבר $\frac{8}{e^x}$ גדל ללא גבול – לכן $f(x)\to \infty$ בשני הצדדים ואין אסימפטוטות אופקיות.

תשובה: ראו סקיצה.
מינימום $(\ell n4,-4.5)$, חיתוך עם ציר x ב־0 וב־$\ell n16$.

S הוא השטח בין גרף $f(x)$ לציר ה־x, בתחום $0\le x\le \ell n16$ (שם הגרף מתחת לציר).

$S_1$: הגרף של $-f(x)$ הוא שיקוף של הגרף של $f(x)$ ביחס לציר ה־x. שיקוף לא משנה שטחים, ונקודות החיתוך עם ציר ה־x נשארות אותן נקודות, לכן $S_1=S$.

$S_2$: לגרף של $2f(x)$ אותן נקודות חיתוך עם ציר ה־x, אבל כל ערך y מוכפל ב־2, כלומר המרחק מציר ה־x בכל נקודה כפול. לכן $S_2=2S$, ובפרט $S_2>S$.

(בעזרת אינטגרל: $S_1={\int }_0^{\ell n16}(-f(x))dx=S$, ו־$S_2={\int }_0^{\ell n16}(-2f(x))dx=2S$.)

תשובה: $S_1=S$
$S_2=2S$, כלומר $S_2>S$