מצגת הסבר – גדילה ודעיכה

12 שקפים · אחוז קבוע בכל יחידת זמן: הכמות, מקדם הגדילה (שורש) והזמן (לוגריתם)

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

גדילה ודעיכה

מצגת הסבר – אחוז קבוע בכל יחידת זמן, מציאת $q$ ומציאת $t$

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35472תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354721 / 12

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

מה נלמד?

כמות שגדלה או קטנה באחוז קבוע בכל יחידת זמן: אוכלוסייה, חיסכון בבנק, צמחים, פינגווינים.

בכל שאלה מחפשים אחד משלושה דברים:

הכמות אחרי זמן נתון – $f (t)$
האחוז – דרך המנה $q$ (בעזרת שורש)
הזמן – $t$ (בעזרת לוגריתם)

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354722 / 12

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

הרעיון: מקדם הגדילה $q$

גדילה ב־ $p %$

בכל יחידת זמן הכמות נעשית $(1 + \frac{p}{100})$ ממה שהייתה.

גדל ב־5%	$q = 1.05$
גדל ב־2%	$q = 1.02$
גדל ב־10%	$q = 1.1$

$q > 1$ ← הגרף עולה.

דעיכה ב־ $p %$

בכל יחידת זמן הכמות נעשית $(1 - \frac{p}{100})$ ממה שהייתה.

קטן ב־5%	$q = 0.95$
קטן ב־8%	$q = 0.92$
נשארו 53%	$q^{5} = 0.53$

$0 < q < 1$ ← הגרף יורד.

ומהכיוון ההפוך: $q = 0.93$ ← ירידה של $1 - 0.93 = 0.07$ , כלומר 7%. ‏ $q = 1.12$ ← עלייה של 12%.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354723 / 12

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · גדילה ודעיכה

הכמות לאחר $t$ יחידות זמן:

f (t) = f (0) \cdot q^{t}

$q$ – מקדם הגדילה / הדעיכה

q = 1 \pm \frac{p}{100}

$p$ – אחוז הגדילה / הדעיכה ביחידת זמן

נוסחאון · לוגריתמים

$lo g_{a} x = b$ שקול ל־ $a^{b} = x$

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} x

לזכור (לא בנוסחאון): מוציאים $ℓ n$ (או $lo g$ ) משני האגפים:

q^{t} = k \Rightarrow t = \frac{ℓ n k}{ℓ n q}

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354724 / 12

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

קובעים את יחידת הזמן (שנים, שבועות…) ואת $t = 0$ .
רושמים $f (0)$ ואת $q$ (או $q$ לא ידוע).
בונים משוואה מהנתון: $f (0) \cdot q^{t} = \dots$
חסר $q$ ← מבודדים $q^{t}$ ומוציאים שורש מסדר $t$ .
חסר $t$ ← מבודדים $q^{t}$ ומוציאים $ℓ n$ .
מתרגמים את $q$ חזרה לאחוז, ועונים במילים.

שני הכלים

חסר $q$ :

q^{5} = 0.53 \Rightarrow q = 5 0.53 \approx 0.881

חסר $t$ :

1.0 2^{t} = 1.17 \Rightarrow t = \frac{ℓ n 1.17}{ℓ n 1.02} \approx 7.93

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354725 / 12

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – פינגווינים (א)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

באזור A מספר הפינגווינים קטן בכל שנה באחוז קבוע, מתחילת 2000. א. האם ההפרש בין 2000 ל־2001 שווה להפרש בין 2001 ל־2002? נמקו.

נסמן $M_{0}$ – המספר בתחילת 2000, ו־ $q$ – מנת הדעיכה ( $0 < q < 1$ ).

M_{0} - M_{0} q = M_{0} (1 - q)

M_{0} q - M_{0} q^{2} = M_{0} q (1 - q)

ההפרש השני = ההפרש הראשון כפול $q$ .

כי $q < 1$ ← ההפרש השני קטן מהראשון.

לא – ההפרשים לא שווים

בכל שנה יורד אותו אחוז, אבל מכמות שהולכת וקטנה.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354726 / 12

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – פינגווינים (ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

בתחילת 2000: באזור A ‏253,000 פינגווינים (ירידה של 5% בשנה), ובאזור B ‏313,000. בתחילת 2010 המספרים שווים. ב. בכמה אחוזים קטן המספר באזור B בכל שנה?

באזור A: ‏ $q_{A} = 0.95$ , אחרי 10 שנים:

253, 000 \cdot 0.9 5^{10} \approx 151, 480

באזור B המנה $q$ לא ידועה. בתחילת 2010 – שוויון:

313, 000 \cdot q^{10} = 253, 000 \cdot 0.9 5^{10}

q^{10} = \frac{253 , 000 \cdot 0.9 5 ^{10}}{313 , 000} \approx 0.484

q = 10 0.484 \approx 0.93

$1 - 0.93 = 0.07$

ירידה של 7% בכל שנה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354727 / 12

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – פינגווינים (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

כעבור כמה זמן מתחילת 2000 היו באזור B ‏98,000 פינגווינים?

313, 000 \cdot 0.9 3^{t} = 98, 000

0.9 3^{t} = \frac{98 , 000}{313 , 000} \approx 0.3131

מוציאים $ℓ n$ לשני האגפים:

t = \frac{ℓ n 0.3131}{ℓ n 0.93} \approx 16

כעבור 16 שנים

מתחילת 2018 המספר באזור A גדל ב־2% בשנה. כעבור כמה זמן יגדל ב־17%?

גדל ב־17% ← הגיע ל־ $1.17$ מהמספר בתחילת 2018:

M_{0} \cdot 1.0 2^{t} = 1.17 M_{0}

1.0 2^{t} = 1.17

t = \frac{ℓ n 1.17}{ℓ n 1.02} \approx 7.93

כ־7.93 שנים

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354728 / 12

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – שתי משתלות (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 3

משתלה א׳: 600 צמחים, גדל ב־5% בשבוע. משתלה ב׳: $a$ צמחים, גדל ב־10% בשבוע. כעבור זמן מסוים המספרים שווים. איזו טענה נכונה: $a < 600$ או $a > 600$ ?

משתלה ב׳ גדלה מהר יותר. אילו $a \geq 600$ – היא הייתה תמיד גדולה יותר, והמספרים לא היו משתווים.

$a < 600$

כעבור 17 שבועות, במשתלה ב׳ פי 2 צמחים ממשתלה א׳. מצאו את $a$ .

A (t) = 600 \cdot 1.0 5^{t}

B (t) = a \cdot 1. 1^{t}

a \cdot 1. 1^{17} = 2 \cdot 600 \cdot 1.0 5^{17}

a = 1200 \cdot (\frac{1.05}{1.1})^{17} \approx 544

$a \approx 544$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354729 / 12

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – שתי משתלות (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 3

אחרי 17 שבועות מתחילה מכירה. במשתלה ב׳ המספר קטן באחוז קבוע, ואחרי 5 שבועות נשארו 53%. בכמה אחוזים קטן בכל שבוע?

B_{0} \cdot q^{5} = 0.53 B_{0}

q = 5 0.53 \approx 0.88076

$1 - 0.88076 \approx 0.119$

כ־12% בכל שבוע

במשתלה א׳ המספר קטן ב־8% בשבוע. מתי המספרים יהיו שווים?

בתחילת המכירה בב׳ פי 2 מבא׳ ( $t$ – שבועות מתחילת המכירה):

600 \cdot 1.0 5^{17} \cdot 0.9 2^{t} = 1200 \cdot 1.0 5^{17} \cdot 0.8807 6^{t}

(\frac{0.92}{0.88076})^{t} = 2

t = \frac{lo g 2}{lo g \frac{0.92}{0.88076}} \approx 15.9

כעבור כ־16 שבועות

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547210 / 12

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

ירידה ב־7% ← $q = 0.93$ , לא $q = 0.07$ .
„גדל ב־17%” ← $q^{t} = 1.17$ (לא 17 ולא 0.17).
„נשארו 53%” ← $q^{5} = 0.53$ .

בכל שנה יורד אותו אחוז – לא אותו מספר (ההפרשים קטנים).
שומרים על יחידת הזמן של השאלה (שבועות ≠ ימים).
לא מעגלים באמצע: משאירים $5 0.53$ במחשבון, ומעגלים רק בסוף.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547211 / 12

בס״דגדילה ודעיכה · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

בחיסכון 5,000 ש״ח, והוא גדל ב־4% בשנה. כמה כסף יהיה בו אחרי 3 שנים?
כמות קטנה ב־15% בכל שעה. מהו $q$ ?
אחרי שנתיים נשארו 64% מכמות התרופה בדם. בכמה אחוזים קטנה הכמות בכל שנה?
כמות גדלה ב־5% ביום. אחרי כמה ימים היא תוכפל?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$5000 \cdot 1.0 4^{3} = 5624.32$ ש״ח
$q = 1 - 0.15 = 0.85$
$q^{2} = 0.64 \Rightarrow q = 0.8$ ← ירידה של 20%
$1.0 5^{t} = 2 \Rightarrow t = \frac{ℓ n 2}{ℓ n 1.05} \approx 14.2$ ימים

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547212 / 12

› לכל המצגות

מצגת הסבר – גדילה ודעיכה

גדילה ודעיכה

מה נלמד?

הרעיון: מקדם הגדילה q

גדילה ב־p%

דעיכה ב־p%

הנוסחאות מהנוסחאון

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

שני הכלים

שאלת בגרות פתורה – פינגווינים (א)

שאלת בגרות פתורה – פינגווינים (ב)

שאלת בגרות פתורה – פינגווינים (ג, ד)

שאלת בגרות פתורה – שתי משתלות (א, ב)

שאלת בגרות פתורה – שתי משתלות (ג, ד)

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

הרעיון: מקדם הגדילה $q$

גדילה ב־ $p %$

דעיכה ב־ $p %$