בגרות חורף תשפ״ג (2023)

המכנה לא יכול להיות 0:

תשובה: כל $x$ פרט ל־$x=\pm \sqrt{2}$.

המכנה מתאפס ב־$x=\pm \sqrt{2}$, והמונה $e^{2x}$ אף פעם לא מתאפס, לכן אלה אסימפטוטות אנכיות.

תשובה: $x=\sqrt{2}$, $x=-\sqrt{2}$

חיתוך עם ציר ה־$y$:

חיתוך עם ציר ה־$x$: המונה $e^{2x}>0$ תמיד, לכן $f(x)\ne 0$ – אין נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$.

תשובה: $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$
אין חיתוך עם ציר ה־$x$.

נגזור לפי נגזרת של מנה:

$f^{\prime }(x)=0$: $x=2$ או $x=-1$. המכנה ו־$2e^{2x}$ חיוביים, לכן הסימן נקבע לפי $(x-2)(x+1)$:

תשובה: $\max \left(-1,-\frac{1}{e^2}\right)$, $\min \left(2,\frac{e^4}{2}\right)$

נשלים לפי מה שמצאנו:

• בין האסימפטוטות ($-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$) המכנה שלילי ולכן $f(x)<0$: הגרף עולה מ־$-\infty$ (ליד $x=-\sqrt{2}$) עד המקסימום $\left(-1,-\frac{1}{e^2}\right)$, יורד דרך $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$ ושואף ל־$-\infty$ ליד $x=\sqrt{2}$.

• מימין ל־$x=\sqrt{2}$ המכנה חיובי ולכן $f(x)>0$: הגרף יורד מ־$+\infty$ עד המינימום $\left(2,\frac{e^4}{2}\right)$ ואחר כך עולה.

(בסקיצה ציר ה־$y$ מכווץ, כדי שכל החלקים ייראו.)

תשובה: ראו סקיצה.

הוספת קבוע $c$ מזיזה את הגרף אנכית, ולכן ל־$g(x)$ נקודות קיצון באותם ערכי $x$ ($-1$ ו־$2$), וערכי $y$ שלהן גדלים ב־$c$:

נקודת קיצון על הישר $y=3$:

תשובה: $c=3+\frac{1}{e^2}$ או $c=3-\frac{e^4}{2}$

בנקודת הקיצון של $f(x)$ הנגזרת מתאפסת, כלומר גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$x$ בדיוק מתחת לנקודת הקיצון של $f(x)$.

גרף I חותך את ציר ה־$x$ בדיוק במקום שבו לגרף II יש נקודת מינימום. בנוסף, משמאל לנקודה זו גרף I שלילי וגרף II יורד, ומימין לה גרף I חיובי וגרף II עולה. לכן I הוא גרף הנגזרת ו־II הוא גרף הפונקציה.

(להפך זה לא מתאים: לגרף I יש מינימום, אבל במקום הזה גרף II אינו חותך את ציר ה־$x$.)

תשובה: גרף I.

$(x-3)$ ו־$e^x$ מוגדרים לכל $x$.

תשובה: כל $x$.

חיתוך עם ציר ה־$y$:

חיתוך עם ציר ה־$x$: $e^x>0$, לכן $x-3=0$, כלומר $x=3$.

תשובה: $(0,-3)$, $(3,0)$

לפי כלל המכפלה:

$e^x>0$, לכן הסימן של $f^{\prime }(x)$ נקבע לפי $x-2$: שלילי עבור $x<2$ וחיובי עבור $x>2$.

תשובה: עלייה: $x>2$
ירידה: $x<2$.

$g(x)=-f^{\prime }(x)=(2-x)e^x$ – הגרף שלו הוא שיקוף של גרף I (גרף הנגזרת) ביחס לציר ה־$x$.

נקודות חשובות: $g(0)=2$; $g(x)=0$ ב־$x=2$; $g^{\prime }(x)=-e^x+(2-x)e^x=(1-x)e^x$, ולכן מקסימום ב־$(1,e)$; כאשר $x\to -\infty$ הגרף מתקרב לציר ה־$x$ (מלמעלה), ועבור $x>2$ הגרף יורד ל־$-\infty$.

תשובה: ראו סקיצה: שיקוף של גרף I ביחס לציר ה־$x$.

הגרפים של $f^{\prime }(x)$ ו־$g(x)=-f^{\prime }(x)$ נחתכים כאשר $f^{\prime }(x)=0$, כלומר ב־$x=2$. השטח חסום בין $x=0$ (ציר ה־$y$) ל־$x=2$; בתחום זה $g(x)>0>f^{\prime }(x)$.

הפונקציה הקדומה של $f^{\prime }(x)$ היא $f(x)$:

תשובה: $2e^2-6\approx 8.778$ יחידות שטח