מצגת הסבר – פונקציות לוגריתמיות

13 שקפים · חקירת פונקציות עם ln x: תחום, אסימפטוטה, קיצון, זיהוי גרף הנגזרת ושטח

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

פונקציות לוגריתמיות

מצגת הסבר – חקירת פונקציות עם $ℓ n x$ , נגזרת ושטח

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35472תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354721 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלה נותנים פונקציה עם $ℓ n x$ – למשל $f (x) = \frac{x ^{2}}{- 6 + 4 ℓ n x}$ – וחוקרים אותה:

תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית
נקודות חיתוך עם הצירים
נגזרת, קיצון, עלייה וירידה
זיהוי הגרפים של $f (x)$ ושל $f^{'} (x)$
שטח מתחת לגרף הנגזרת

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354722 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

הרעיונות החשובים

מוגדר רק לחיובי

$ℓ n x$ מוגדר רק עבור $x > 0$ .

לכן אין חיתוך עם ציר $y$ (כי $x = 0$ לא בתחום), ובשבר בודקים גם שהמכנה שונה מ־0.

מעבר בין $ℓ n$ לחזקה

ℓ n x = k \Leftrightarrow x = e^{k}

למשל $ℓ n x = 2 \Rightarrow x = e^{2}$ , ‏ $ℓ n x = - 2 \Rightarrow x = e^{- 2}$

ערכים שכדאי לזכור

ℓ n 1 = 0, ℓ n e = 1, ℓ n e^{k} = k

$ℓ n x = lo g_{e} x$ – לוגריתם לפי בסיס $e$ .

$ℓ n x = 0$

קורה רק כאשר $x = 1$ . ‏ $(ℓ n x)^{2} = 0$ ← גם $x = 1$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354723 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · לוגריתמים

a^{l o g_{a} x} = x lo g_{a} (a^{b}) = b

$lo g_{a} x = b$ שקול ל־ $a^{b} = x$

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x \cdot y)

lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} \frac{x}{y}

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} x

נוסחאון · נגזרות ואינטגרלים

(ℓ n x)^{'} = \frac{1}{x}

[ℓ n (f (x))]^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}

\int \frac{1}{x} d x = ℓ n ∣ x ∣ + C

\int \frac{1}{m x + b} d x = \frac{ℓ n ∣ m x + b ∣}{m} + C

וגם כללי המכפלה והמנה (בנוסחאון).

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354724 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – חקירה שלב אחרי שלב

תחום: מה שבתוך $ℓ n$ חיובי, והמכנה שונה מ־0.
מכנה מתאפס (והמונה לא) ← אסימפטוטה אנכית.
חיתוך: $f (x) = 0$ – רק פתרונות שבתחום!
נגזרת (מכפלה / מנה), ומפרקים לגורמים.
$f^{'} (x) = 0$ ← $ℓ n x = k$ ← $x = e^{k}$ ← טבלת סימנים.
שטח מתחת ל־ $f^{'}$ : הקדומה של $f^{'}$ היא $f$ .

דוגמה: תחום

f (x) = \frac{x ^{2}}{- 6 + 4 ℓ n x}

$ℓ n x$ ← $x > 0$ . ‏המכנה שונה מ־0:

- 6 + 4 ℓ n x \neq = 0

ℓ n x \neq = 1.5 \Rightarrow x \neq = e^{1.5}

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354725 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – תחום, אסימפטוטה וחיתוך (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

$f (x) = \frac{x ^{2}}{- 6 + 4 ℓ n x}$ . ‏(1) מצאו את תחום ההגדרה. (2) מצאו את האסימפטוטה האנכית.

(1) ‏ $x > 0$ , וגם $x \neq = e^{1.5}$ (מהשקף הקודם).

(2) ב־ $x = e^{1.5}$ המכנה מתאפס, והמונה $x^{2} = e^{3} \neq = 0$ :

$x = e^{1.5} \approx 4.48$

מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

ציר $y$ : ‏ $x = 0$ אינו בתחום ← אין.

ציר $x$ : ‏ $f (x) = 0$ רק כשהמונה מתאפס:

x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0

אבל $x = 0$ לא בתחום.

אין נקודות חיתוך

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354726 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – קיצון (ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

כלל המנה:

f^{'} (x) = \frac{2 x ( - 6 + 4 ℓ n x ) - x ^{2} \cdot \frac{4}{x}}{( - 6 + 4 ℓ n x ) ^{2}}

f^{'} (x) = \frac{8 x ( ℓ n x - 2 )}{( - 6 + 4 ℓ n x ) ^{2}}

המכנה חיובי, ו־ $8 x > 0$ בתחום:

ℓ n x = 2 \Rightarrow x = e^{2}

$x$	$0 < x < e^{1.5}$	$e^{1.5} < x < e^{2}$	$e^{2}$	$x > e^{2}$
$f^{'}$	−	−	0	+
$f$	↘	↘	min	↗

f (e^{2}) = \frac{e ^{4}}{- 6 + 4 \cdot 2} = \frac{e ^{4}}{2} \approx 27.3

$min (e^{2}, \frac{e ^{4}}{2})$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354727 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – שטח מתחת לגרף הנגזרת (ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

ד (2). חשבו את השטח המוגבל ע״י גרף $f^{'} (x)$ , ציר ה־ $x$ והישר $x = e^{3}$ .

$f^{'}$ מתאפסת ב־ $x = e^{2}$ וחיובית אחריה ← השטח בין $e^{2}$ ל־ $e^{3}$ , מעל ציר $x$ .

הפונקציה הקדומה של $f^{'} (x)$ היא $f (x)$ :

S = \int_{e^{2}}^{e^{3}} f^{'} (x) d x = f (e^{3}) - f (e^{2})

f (e^{3}) = \frac{e ^{6}}{- 6 + 4 \cdot 3} = \frac{e ^{6}}{6}

S = \frac{e ^{6}}{6} - \frac{e ^{4}}{2} \approx 39.94

כ־39.94 יחידות שטח

לא צריך למצוא אינטגרל „קשה” – את $f$ כבר יש לנו!

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354728 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – זיהוי גרף הנגזרת (א)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 5

$f (x) = 3 x \cdot (ℓ n x)^{2}$ . לפונקציה מקסימום אחד ומינימום אחד, והמינימום מימין למקסימום. א. איזה גרף מתאר את $f^{'} (x)$ ?

עולה עד המקסימום ← $f^{'} > 0$
יורדת עד המינימום ← $f^{'} < 0$
שוב עולה ← $f^{'} > 0$

סדר הסימנים של $f^{'}$ משמאל לימין:

+ - +

הגרף של $f^{'}$ חותך את ציר $x$ פעמיים ומחליף סימן בכל פעם.

גרף שרק משיק לציר – בלי החלפת סימן – אין שם קיצון.

גרף II

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354729 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – חיתוך וקיצון (ב)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 5

ב1

חיתוך עם הצירים.

ציר $y$ : ‏ $x = 0$ לא בתחום ( $x > 0$ ) ← אין.

3 x (ℓ n x)^{2} = 0

$x \neq = 0$ , לכן $ℓ n x = 0 \Rightarrow x = 1$

$(1, 0)$

ב2

נקודות הקיצון וסוגן.

f^{'} (x) = 3 (ℓ n x)^{2} + 3 x \cdot 2 ℓ n x \cdot \frac{1}{x}

= 3 ℓ n x (ℓ n x + 2)

$ℓ n x = 0 \Rightarrow x = 1$ , $ℓ n x = - 2 \Rightarrow x = e^{- 2}$

f (e^{- 2}) = 3 e^{- 2} \cdot (- 2)^{2} = \frac{12}{e ^{2}} \approx 1.62

$max (e^{- 2}, \frac{12}{e ^{2}})$ , ‏ $min (1, 0)$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547210 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – שטח מתחת לציר (ד)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 5

ד. חשבו את השטח המוגבל ע״י גרף $f^{'} (x)$ וציר ה־ $x$ .

$f^{'}$ חותכת את ציר $x$ ב־ $e^{- 2}$ וב־1, וביניהן $f^{'} < 0$ ← השטח מתחת לציר, ולכן מינוס:

S = - \int_{e^{- 2}}^{1} f^{'} (x) d x = - [f (1) - f (e^{- 2})]

S = - (0 - \frac{12}{e ^{2}}) = \frac{12}{e ^{2}} \approx 1.624

הטריק שחוזר

„שטח בין גרף $f^{'}$ לציר $x$ ” ←

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)

משתמשים בערכי $f$ שכבר חישבנו (קיצון, חיתוך).

$\frac{12}{e ^{2}}$ יחידות שטח

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547211 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

תמיד מתחילים בתחום: $x > 0$ . פתרון מחוץ לתחום – פוסלים.
$ℓ n x = 2$ ← $x = e^{2}$ , לא $x = 2$ ולא $x = ℓ n 2$ .
$[(ℓ n x)^{2}]^{'} = 2 ℓ n x \cdot \frac{1}{x}$ – כלל השרשרת.

$ℓ n x$ יכול להיות שלילי (כש־ $0 < x < 1$ ) – זהירות בסימנים בטבלה.
שטח מתחת לציר $x$ ← האינטגרל עם מינוס.
בטבלת הסימנים מסמנים גם את האסימפטוטה ( $x = e^{1.5}$ ) – שם $f$ לא מוגדרת.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547212 / 13

בס״דפונקציות לוגריתמיות · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

פתרו: $ℓ n x = 3$ .
מהו תחום ההגדרה של $f (x) = ℓ n (x - 2)$ ?
גזרו: $f (x) = x \cdot ℓ n x$ , ומצאו את הקיצון.
חשבו: $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$ .

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$x = e^{3} \approx 20.09$
$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
$f^{'} (x) = ℓ n x + x \cdot \frac{1}{x} = ℓ n x + 1$
$ℓ n x = - 1 \Rightarrow x = e^{- 1}$ ← $min (\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$
$[ℓ n ∣ x ∣]_{1}^{e} = 1 - 0 = 1$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547213 / 13

› לכל המצגות

מצגת הסבר – פונקציות לוגריתמיות

פונקציות לוגריתמיות

מה נלמד?

הרעיונות החשובים

מוגדר רק לחיובי

מעבר בין ℓn לחזקה

ערכים שכדאי לזכור

ℓnx=0

הנוסחאות מהנוסחאון

שיטת הפתרון – חקירה שלב אחרי שלב

דוגמה: תחום

שאלת בגרות פתורה – תחום, אסימפטוטה וחיתוך (א, ב)

שאלת בגרות פתורה – קיצון (ג)

שאלת בגרות פתורה – שטח מתחת לגרף הנגזרת (ד)

שאלת בגרות פתורה – זיהוי גרף הנגזרת (א)

שאלת בגרות פתורה – חיתוך וקיצון (ב)

שאלת בגרות פתורה – שטח מתחת לציר (ד)

הטריק שחוזר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

מעבר בין $ℓ n$ לחזקה

$ℓ n x = 0$