בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד ב׳

$\ell nx$ מוגדר רק עבור $x>0$:

תשובה: $x>0$

נגזור (כלל השרשרת):

(בתחום $0<x<1$: $\ell nx<0$; בתחום $x>1$: $\ell nx>0$; והמכנה $x$ חיובי.)

תשובה: $(1,a)$ – נקודת מינימום

בתחום $x>0$ מתקיים $\frac{1}{x}>0$, לכן $g^{\prime }(x)>0$ לכל $x$ בתחום: הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה, ואין לה תחום ירידה.

תשובה: עולה לכל $x>0$; אין תחום ירידה.

$f(x)$: יש לה נקודת מינימום אחת $(1,a)$ ו־$a>0$, כלומר המינימום מעל ציר ה־$x$ והגרף כולו מעל ציר ה־$x$. גרף IV מתאים (גרף III נוגע בציר ה־$x$, כלומר שם $a=0$).

$g(x)$: עולה בכל התחום ואין לה נקודות קיצון. גרף I מתאים (גרף II יורד).

תשובה: $f(x)$ – גרף IV; $g(x)$ – גרף I.

בנקודת החיתוך $x=e$ מתקיים $f(e)=g(e)$:

תשובה: $a=1$

$\ell nx=1$ נותן $x=e$ (הנקודה הנתונה), ו־$\ell nx=0$ נותן $x=1$:

תשובה: $(1,1)$

מכפלה שלילית כאשר $\ell nx$ בין 0 ל־1:

(כלומר בין שתי נקודות החיתוך גרף $g$ מעל גרף $f$.)

תשובה: $1<x<e$

בנקודה $x=c$ גרף הנגזרת חותך את ציר ה־$x$: משמאל ל־$c$ הנגזרת חיובית (הגרף מעל ציר ה־$x$) ומימין ל־$c$ שלילית.

כלומר $f(x)$ עולה לפני $c$ ויורדת אחריו – ב־$x=c$ יש לפונקציה נקודת מקסימום.

תשובה: נקודת מקסימום ($f^{\prime }$ עוברת מחיובית לשלילית ב־$x=c$).

הביטוי שבתוך ה־$\ell n$ חייב להיות חיובי:

פרבולה „עצובה” עם שורשים 0 ו־4 – חיובית ביניהם:

תשובה: $0<x<4$

חיתוך עם ציר ה־$y$: $x=0$ אינו בתחום – אין.

חיתוך עם ציר ה־$x$: $\ell n(4x-x^2)=0$, כלומר:

(שתי הנקודות בתחום $0<x<4$.)

תשובה: $(0.27,0)$, $(3.73,0)$
אין חיתוך עם ציר ה־$y$.

נגזור (כלל השרשרת):

לפי סעיף א זו נקודת מקסימום (בדיקה: $f^{\prime }(1)=\frac{2}{3}>0$, $f^{\prime }(3)=-\frac{2}{3}<0$).

הנגזרת מתאפסת רק ב־$x=2$, ולכן $c=2$.

תשובה: $(2,\ell n4)$ – מקסימום; $c=2$

הפונקציה מוגדרת ב־$0<x<4$. כאשר $x$ מתקרב ל־0 או ל־4, הביטוי $4x-x^2$ מתקרב ל־0 ולכן $f(x)\to -\infty$ (הישרים $x=0$ ו־$x=4$ הם אסימפטוטות אנכיות). הגרף עולה עד המקסימום $(2,\ell n4)$ ויורד, וחותך את ציר ה־$x$ ב־$x\approx 0.27$ וב־$x\approx 3.73$.

תשובה:

$g(x)=f(x)\cdot f^{\prime }(x)$ חיובית כאשר לשני הגורמים אותו סימן.

סימן $f(x)$ (לפי הסקיצה): חיובית ב־$2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}$, ושלילית ב־$0<x<2-\sqrt{3}$ וב־$2+\sqrt{3}<x<4$.

סימן $f^{\prime }(x)$: חיובית ב־$0<x<2$ ושלילית ב־$2<x<4$.

תשובה: $2-\sqrt{3}<x<2$ וגם $2+\sqrt{3}<x<4$