מצגת הסבר – סטטיסטיקה ורגרסיה

13 שקפים · מקדם המתאם וישר הרגרסיה: שיפוע, משוואה, ניבוי והשפעת שינוי בנתונים

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

סטטיסטיקה ורגרסיה

מצגת הסבר – מקדם המתאם $r$ וישר הרגרסיה

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35472תכנית חדשהבבחינות 2022–2023

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354721 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

מה נלמד?

בודקים קשר בין שני משתנים: $x$ (למשל ציון במתמטיקה) ו־ $y$ (ציון במדעי המחשב).

לקרוא דיאגרמת פיזור ולהעריך את $r$
לחשב את שיפוע ישר הרגרסיה ואת משוואתו
לנבא ערך של $y$ לפי $x$ (או להפך)
מה קורה ל־ $\overset{x}{ˉ}$ , ‏ $S_{x}$ , ‏ $r$ כשמשנים את הנתונים

באתר יש שאלות בנושא מהמועדים של 2022–2023.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354722 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

מקדם המתאם $r$

$r$ מודד עד כמה הנקודות קרובות לישר: ‏ $- 1 \leq r \leq 1$ .

סימן $r$ ← כיוון הקשר: $r > 0$ – כש־ $x$ גדל, $y$ גדל בדרך כלל.
גודל $∣ r ∣$ ← חוזק הקשר: קרוב ל־1 – קשר חזק.
$r = 0$ ← אין קשר לינארי.

לזכור (לא בנוסחאון)

קשר חיובי חזק: $r \approx 0.95$

קשר שלילי חזק: $r \approx - 0.95$

אין קשר לינארי: $r \approx 0$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354723 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

ישר הרגרסיה – שתי תכונות

1. עובר בנקודת הממוצעים

תמיד: הנקודה $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ נמצאת על הישר.

לכן אם הישר הוא $y = m x + 43.2$ ו־ $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}) = (64, 72)$ :

72 = 64 m + 43.2 \Rightarrow m = 0.45

2. סימן השיפוע = סימן $r$

$m = r \cdot \frac{S _{y}}{S _{x}}$ וסטיות התקן חיוביות.

$r < 0$ ← הישר יורד. ‏ $r = 0$ ← $m = 0$ , ישר אופקי $y = \overset{y}{ˉ}$ .

ניבוי: מציבים את $x$ הנתון במשוואת הישר ומקבלים את הערך המשוער של $y$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354724 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · סטטיסטיקה

ממוצע וסטיית תקן:

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} f _{1} + \dots + x _{n} f _{n}}{N}

S = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} f _{1} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2} f _{n}}{N}

שיפוע ישר הרגרסיה:

m = r \cdot \frac{S _{y}}{S _{x}}

משוואת ישר הרגרסיה:

y - \overset{y}{ˉ} = m (x - \overset{x}{ˉ})

ציון תקן:

z = \frac{x - x ˉ}{S}

מקדם המתאם:

r = \frac{1}{N \cdot S _{x} \cdot S _{y}} \cdot [(x_{1} - \overset{x}{ˉ}) (y_{1} - \overset{y}{ˉ}) + \dots + (x_{N} - \overset{x}{ˉ}) (y_{N} - \overset{y}{ˉ})]

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354725 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

רושמים את הנתונים: $\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}, S_{x}, S_{y}, r$ – ומי $x$ ומי $y$ .
שיפוע: $m = r \cdot \frac{S _{y}}{S _{x}}$ .
משוואה: מציבים ב־ $y - \overset{y}{ˉ} = m (x - \overset{x}{ˉ})$ ומפשטים.
ניבוי: מציבים $x$ (או $y$ ) במשוואה.
ידוע הישר וחסר $r$ ? ← מבודדים מ־ $m = r \cdot \frac{S _{y}}{S _{x}}$ .

דוגמה

$\overset{x}{ˉ} = 64, \overset{y}{ˉ} = 72, S_{x} = 14, S_{y} = 9, r = 0.77$

m = 0.77 \cdot \frac{9}{14} = 0.495

y - 72 = 0.495 (x - 64)

y = 0.495 x + 40.32

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 2

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354726 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – ציונים (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 2

$X$ – ציון במתמטיקה, $Y$ – ציון במדעי המחשב. ‏ $\overset{ˉ}{X} = 64$ , ‏ $\overset{ˉ}{Y} = 72$ , ‏ $S_{x} = 14$ , ‏ $S_{y} = 9$ , ‏ $r = 0.77$ . א. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי הציון במדעי המחשב לפי הציון במתמטיקה.

m = r \cdot \frac{S _{y}}{S _{x}} = 0.77 \cdot \frac{9}{14} = 0.495

y - 72 = 0.495 (x - 64)

y - 72 = 0.495 x - 31.68

$y = 0.495 x + 40.32$

ב. דני קיבל 90 במתמטיקה. מהו הציון המשוער שלו במדעי המחשב?

y = 0.495 \cdot 90 + 40.32

y = 84.87 \approx 85

בערך 85

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354727 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – הוספה לכל הציונים (ג)

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 2

הוסיפו לכל אחד מהציונים במתמטיקה 4 נקודות. ג. מה קרה ל־(1) $\overset{ˉ}{X}$ ‏(2) $S_{x}$ ‏(3) $r$ ?

הממוצע עולה באותו מספר: $\overset{x}{ˉ} = 64 + 4 = 68$ .
כל הנקודות זזות ימינה באותו מרחק – המרחקים מהממוצע $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ לא משתנים ← $S_{x} = 14$ .
$r$ תלוי רק בסטיות מהממוצע ובסטיות התקן ← $r = 0.77$ .

הכלל

הוספת מספר קבוע לכל הערכים:

$\overset{x}{ˉ}$	גדל באותו מספר
$S_{x}$	לא משתנה
$r$	לא משתנה

לזכור (לא בנוסחאון)

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354728 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – מציאת $m$ ו־ $r$ (ד)

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 2

ד1

בשנה אחרת התקבלו אותם ממוצעים ואותן סטיות תקן, וישר הרגרסיה הוא $y = m x + 43.2$ . מצאו את $m$ .

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(64, 72)$ :

72 = m \cdot 64 + 43.2

28.8 = 64 m \Rightarrow m = 0.45

ד2

מצאו את מקדם המתאם בשנה זו.

m = r \cdot \frac{S _{y}}{S _{x}}

0.45 = r \cdot \frac{9}{14}

r = 0.45 \cdot \frac{14}{9} = 0.7

$r = 0.7$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354729 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – היעדרויות וציונים (א–ג)

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳ · שאלה 2

$x$ – מספר היעדרויות, $y$ – ציון. ‏ $\overset{x}{ˉ} = 10$ , ‏ $\overset{y}{ˉ} = 70$ , ‏ $S_{x} = 4$ , ‏ $S_{y} = 10$ , והקשר שלילי. א. איזו מהמשוואות היא משוואת ישר הרגרסיה?

ישר שעולה (שיפוע חיובי) – נפסל. בודקים את הנותרים בנקודת הממוצעים $x = 10$ :

(3) ‏ $y = - 2 \cdot 10 + 70 = 50 \neq = 70$ ✗

(4) ‏ $y = - 2 \cdot 10 + 90 = 70$ ✓

משוואה 4: $y = - 2 x + 90$

ב. מצאו את $r$ .

- 2 = r \cdot \frac{10}{4} \Rightarrow r = - 0.8

ג. תלמיד קיבל 80. כמה היעדרויות משוער שהיו לו?

80 = - 2 x + 90 \Rightarrow x = 5

5 היעדרויות

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547210 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – ישר אופקי (ד, ה)

בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳ · שאלה 2

בכיתה אחרת, לכל מספר היעדרויות הישר מנבא אותו ציון: 65. ד. (1) מהו השיפוע? (2) מהו $\overset{y}{ˉ}$ ? ה. האם אפשר לדעת את $\overset{x}{ˉ}$ ?

(1) אותו ניבוי לכל $x$ ← הישר $y = 65$ , אופקי:

$m = 0$

(2) הישר עובר בנקודת הממוצעים ← $\overset{y}{ˉ} = 65$ .

ה. לא.

הישר $y = 65$ עובר בנקודה $(\overset{x}{ˉ}, 65)$ לכל ערך של $\overset{x}{ˉ}$ .

גם $0 = r \cdot \frac{S _{y}}{S _{x}}$ נותן רק $r = 0$ (אין קשר לינארי), ולא מידע על $\overset{x}{ˉ}$ .

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547211 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בשיפוע: $S_{y}$ במונה, $S_{x}$ במכנה ( $y$ לפי $x$ ).
הישר תמיד עובר ב־ $(\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ})$ – בודקים כל משוואה בנקודה הזאת.
סימן $m$ = סימן $r$ .

ניבוי נותן ערך משוער – כותבים „בערך”.
הוספת קבוע: $\overset{x}{ˉ}$ זז, $S_{x}$ ו־ $r$ לא משתנים.
$r = 0$ ← אין קשר לינארי (לא בהכרח „אין קשר בכלל”).

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547212 / 13

בס״דסטטיסטיקה ורגרסיה · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

נתון: $\overset{x}{ˉ} = 5$ , ‏ $\overset{y}{ˉ} = 20$ , ‏ $S_{x} = 2$ , ‏ $S_{y} = 5$ , ‏ $r = 0.6$ .

מצאו את שיפוע ישר הרגרסיה.
מצאו את משוואת הישר.
מהו הערך המשוער של $y$ כאשר $x = 8$ ?
מוסיפים 3 לכל ערך של $x$ . מה יהיו $\overset{x}{ˉ}$ , ‏ $S_{x}$ ו־ $r$ ?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$m = 0.6 \cdot \frac{5}{2} = 1.5$
$y - 20 = 1.5 (x - 5)$ ← $y = 1.5x + 12.5$
$1.5 \cdot 8 + 12.5 = 24.5$
$\overset{x}{ˉ} = 8$ , ‏ $S_{x} = 2$ , ‏ $r = 0.6$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547213 / 13

› לכל המצגות

מצגת הסבר – סטטיסטיקה ורגרסיה

סטטיסטיקה ורגרסיה

מה נלמד?

מקדם המתאם r

ישר הרגרסיה – שתי תכונות

1. עובר בנקודת הממוצעים

2. סימן השיפוע = סימן r

הנוסחאות מהנוסחאון

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

דוגמה

שאלת בגרות פתורה – ציונים (א, ב)

שאלת בגרות פתורה – הוספה לכל הציונים (ג)

הכלל

שאלת בגרות פתורה – מציאת m ו־r (ד)

שאלת בגרות פתורה – היעדרויות וציונים (א–ג)

שאלת בגרות פתורה – ישר אופקי (ד, ה)

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

מקדם המתאם $r$

2. סימן השיפוע = סימן $r$

שאלת בגרות פתורה – מציאת $m$ ו־ $r$ (ד)