מצגת הסבר – גאומטרייה במרחב (וקטורים)

14 שקפים · וקטורים בתיבה ובפירמידה: הבעת וקטורים, מכפלה סקלרית, ניצבות, אורך, זווית, שטח ונפח

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

גאומטרייה במרחב – וקטורים

מצגת הסבר – וקטורים בתיבה ובפירמידה, מכפלה סקלרית, זוויות, אורכים ושטחים

מתמטיקה 4 יח״לשאלון 35472תכנית חדשה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354721 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

מה נלמד?

בשאלה נותנים גוף (תיבה, מנסרה, פירמידה) ושלושה וקטורים $\underline{u}, \underline{v}, \underline{w}$ שיוצאים מקודקוד. מבקשים:

להביע וקטורים בעזרת $\underline{u}, \underline{v}, \underline{w}$
מכפלה סקלרית – ולהוכיח ניצבות
אורך של וקטור / מקצוע
עבודה עם שיעורים $(x, y, z)$
זווית, שטח של משולש ונפח

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354722 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

הבעת וקטור – „הולכים במסלול”

כדי להביע $X Y$ הולכים מ־ $X$ ל־ $Y$ דרך מקצועות ידועים, ומחברים:

A^{'} C^{'} = A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'} = \underline{u} + \underline{v}

הולכים נגד כיוון הווקטור ← מינוס: $B A = - \underline{u}$
מקצועות מקבילים ושווים ← אותו וקטור: $B^{'} C^{'} = B C = \underline{v}$
אמצע קטע ← חצי: $F$ אמצע $B C$ ← $B F = \frac{1}{2} \underline{v}$
„ $A^{'} E = \frac{3}{4} A^{'} C^{'}$ ” ← $A^{'} E = \frac{3}{4} \underline{u} + \frac{3}{4} \underline{v}$

וקטורים מקבילים

אם $E F = k \cdot B C$ ( $k$ מספר) ← הווקטורים מקבילים.

למשל $E F = \frac{3}{4} B C$ ← $E F ∥ B C$ , ואורכו $\frac{3}{4}$ מאורך $B C$ .

לזכור (לא בנוסחאון)

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354723 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

וקטורים בשיעורים

וקטור בין שתי נקודות

סוף פחות התחלה:

B C = C - B

$B (1, - 1, 3), C (13, 15, 3)$ :

B C = (12, 16, 0)

נקודה = נקודה + וקטור

F = E + E F

$E (5, 1, 6)$ , ‏ $E F = (9, 12, 0)$ :

F = (14, 13, 6)

כפל במספר

\frac{3}{4} \cdot (12, 16, 0) = (9, 12, 0)

כופלים כל שיעור.

אמצע קטע

M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2}, \frac{z _{1} + z _{2}}{2})

לזכור (לא בנוסחאון)

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354724 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · וקטורים

$\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ , ‏ $\underline{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$

אורך:

∣ \underline{u} ∣ = \underline{u} \cdot \underline{u}

∣ \underline{u} ∣ = (u_{1})^{2} + (u_{2})^{2} + (u_{3})^{2}

מכפלה סקלרית:

\underline{u} \cdot \underline{v} = u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2} + u_{3} \cdot v_{3}

\underline{u} \cdot \underline{v} = ∣ \underline{u} ∣ \cdot ∣ \underline{v} ∣ \cdot cos α

זווית בין וקטורים:

cos α = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣}

נוסחאון · שטח וגופים

שטח משולש ( $α$ – הזווית בין $b$ ל־ $c$ ):

S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sin α

נפח מנסרה ונפח פירמידה ( $S$ – שטח הבסיס, $h$ – גובה הגוף):

V = S \cdot h V = \frac{S \cdot h}{3}

לזכור (לא בנוסחאון): וקטורים מאונכים כאשר המכפלה הסקלרית שלהם היא 0:

\underline{u} ⊥ \underline{v} \Leftrightarrow \underline{u} \cdot \underline{v} = 0

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354725 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

מכפלה סקלרית – הכלים

בתיבה ובקובייה

המקצועות שיוצאים מקודקוד מאונכים זה לזה:

\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0

ו־ $\underline{u} \cdot \underline{u} = ∣ \underline{u} ∣^{2}$ .

אורך של וקטור מורכב

מעלים בריבוע (כמו בכפל מקוצר):

∣ \underline{u} + \underline{v} ∣^{2} = ∣ \underline{u} ∣^{2} + 2 \underline{u} \cdot \underline{v} + ∣ \underline{v} ∣^{2}

ובסוף מוציאים שורש.

מכפלה של שני ביטויים

פותחים סוגריים – כל איבר בכל איבר:

(- \frac{1}{4} \underline{u} + \frac{1}{4} \underline{v} + \underline{w}) \cdot (\underline{u} + \underline{v})

= - \frac{1}{4} ∣ \underline{u} ∣^{2} + \frac{1}{4} ∣ \underline{v} ∣^{2}

(המכפלה של וקטורים מאונכים היא 0)

זווית לא ידועה

כשהזווית בין $\underline{u}$ ל־ $\underline{v}$ נתונה (למשל $6 0^{\circ}$ ):

\underline{u} \cdot \underline{v} = ∣ \underline{u} ∣ \cdot ∣ \underline{v} ∣ \cdot cos 6 0^{\circ}

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354726 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

שיטת הפתרון – שלב אחרי שלב

מסמנים על הסרטוט את $\underline{u}, \underline{v}, \underline{w}$ ואת הנקודות (אמצע, יחס).
מביעים כל וקטור במסלול של מקצועות ידועים.
רושמים את המכפלות הידועות: אורכים, ניצבות (מכפלה 0), זוויות.
ניצבות ← מראים שהמכפלה הסקלרית היא 0.
אורך ← מעלים בריבוע ומוציאים שורש.
זווית ← $cos α$ . שטח ← $\frac{1}{2} b c sin α$ , או בסיס כפול גובה חלקי 2 כשיש ניצבות.

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354727 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – הבעת וקטורים (א)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

$A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ תיבה שבסיסה ריבוע $A B C D$ שאורך צלעו 4. ‏ $A B = \underline{u}$ , ‏ $B C = \underline{v}$ , ‏ $A A^{'} = \underline{w}$ . ‏ $E$ על $A^{'} C^{'}$ כך ש־ $A^{'} E = \frac{3}{4} A^{'} C^{'}$ , ו־ $F$ אמצע $B C$ . א. הביעו את $A^{'} E$ ואת $F E$ .

A^{'} C^{'} = A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'} = \underline{u} + \underline{v}

A^{'} E = \frac{3}{4} \underline{u} + \frac{3}{4} \underline{v}

מ־ $F$ ל־ $E$ דרך $B$ , $A$ ו־ $A^{'}$ ‏( $F B = - \frac{1}{2} \underline{v}$ ):

F E = F B + B A + A A^{'} + A^{'} E

= - \frac{1}{2} \underline{v} - \underline{u} + \underline{w} + \frac{3}{4} \underline{u} + \frac{3}{4} \underline{v}

$F E = - \frac{1}{4} \underline{u} + \frac{1}{4} \underline{v} + \underline{w}$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354728 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – אורכים (ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

מצאו את אורך $A^{'} E$ .

בסיס ריבוע: $\underline{u} ⊥ \underline{v}$ , ‏ $∣ \underline{u} ∣ = ∣ \underline{v} ∣ = 4$ :

∣ A^{'} C^{'} ∣^{2} = ∣ \underline{u} ∣^{2} + 2 \underline{u} \cdot \underline{v} + ∣ \underline{v} ∣^{2}

= 16 + 0 + 16 = 32 \Rightarrow ∣ A^{'} C^{'} ∣ = 42

∣ A^{'} E ∣ = \frac{3}{4} \cdot 42 = 32 \approx 4.24

נתון $∣ F E ∣ = ∣ A^{'} E ∣$ . הוכיחו שהתיבה היא קובייה.

בתיבה כל המכפלות בין $\underline{u}, \underline{v}, \underline{w}$ הן 0. ‏ $∣ \underline{w} ∣ = h$ :

∣ F E ∣^{2} = \frac{1}{16} ∣ \underline{u} ∣^{2} + \frac{1}{16} ∣ \underline{v} ∣^{2} + ∣ \underline{w} ∣^{2}

= 1 + 1 + h^{2} = 2 + h^{2}

2 + h^{2} = 18 \Rightarrow h = 4

כל המקצועות 4 ← קובייה

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 354729 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – ניצבות ושטח (ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

ד. (1) הראו ש־ $F E ⊥ A^{'} C^{'}$ . ‏(2) חשבו את שטח המשולש $A^{'} F C^{'}$ .

F E \cdot A^{'} C^{'} = (- \frac{1}{4} \underline{u} + \frac{1}{4} \underline{v} + \underline{w}) \cdot (\underline{u} + \underline{v})

= - \frac{1}{4} ∣ \underline{u} ∣^{2} + \frac{1}{4} ∣ \underline{v} ∣^{2} = - 4 + 4 = 0

המכפלה 0 ← מאונכים

$E$ על $A^{'} C^{'}$ ו־ $F E ⊥ A^{'} C^{'}$ ← $F E$ הוא הגובה לצלע $A^{'} C^{'}$ :

S_{A^{'} F C^{'}} = \frac{4 2 \cdot 3 2}{2} = 12

12 יחידות שטח

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547210 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – פירמידה (א, ב)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד ב׳ · שאלה 2

$S A B C$ פירמידה. ‏ $A B = \underline{u}$ , ‏ $A C = \underline{v}$ , ‏ $A S = \underline{w}$ . ‏ $S F = \frac{3}{4} S C$ , ‏ $S E = \frac{3}{4} S B$ . א. הביעו את $B C$ , ‏ $S F$ , ‏ $S E$ .

B C = B A + A C = - \underline{u} + \underline{v}

S F = \frac{3}{4} (- \underline{w} + \underline{v}), S E = \frac{3}{4} (- \underline{w} + \underline{u})

ב. הביעו את $E F$ , והראו ש־ $E F ∥ B C$ .

E F = - S E + S F = - \frac{3}{4} \underline{u} + \frac{3}{4} \underline{v} = \frac{3}{4} B C

כפולה במספר ← $E F ∥ B C$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547211 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – פירמידה בשיעורים (ג–ה)

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד ב׳ · שאלה 2

$A (4, 12, 3)$ , ‏ $B (1, - 1, 3)$ , ‏ $C (13, 15, 3)$ , ‏ $E (5, 1, 6)$ . ג. מצאו את $B C$ ו־ $E F$ . ד. מצאו את $F$ .

B C = C - B = (12, 16, 0)

E F = \frac{3}{4} (12, 16, 0) = (9, 12, 0)

F = E + E F = (14, 13, 6)

ה. מצאו את $∢ E A F$ ואת שטח המשולש $E A F$ .

A E = (1, - 11, 3), A F = (10, 1, 3)

A E \cdot A F = 10 - 11 + 9 = 8

∣ A E ∣ = 131, ∣ A F ∣ = 110

cos α = \frac{8}{131 \cdot 110} \approx 0.0666 \Rightarrow α \approx 86.1 8^{\circ}

S = \frac{131 \cdot 110 \cdot sin 86.1 8 ^{\circ}}{2} \approx 59.89

$∢ E A F \approx 86.1 8^{\circ}$

$S_{E A F} \approx 59.89$ יחידות שטח

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547212 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

הליכה נגד כיוון החץ ← מינוס ( $B A = - \underline{u}$ ).
$∣ \underline{u} + \underline{v} ∣ \neq = ∣ \underline{u} ∣ + ∣ \underline{v} ∣$ – מעלים בריבוע!
וקטור בין נקודות: סוף פחות התחלה.

ניצבות מוכיחים רק כשהמכפלה הסקלרית היא 0 – לא לפי הסרטוט.
בפירמידה (לא בתיבה) המקצועות לא בהכרח מאונכים – משתמשים רק במה שנתון.
„הוכיחו” – מסיימים במשפט: „לכן התיבה היא קובייה”.

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547213 / 14

בס״דגאומטרייה במרחב (וקטורים) · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

חשבו את האורך של $\underline{u} = (1, 2, 2)$ .
האם $\underline{a} = (2, - 1, 3)$ ו־ $\underline{b} = (1, 5, 1)$ מאונכים?
מצאו את הזווית בין $(1, 0, 1)$ ל־ $(0, 1, 1)$ .
בקובייה שמקצועה 2 (עם $\underline{u}, \underline{v}, \underline{w}$ כמו בשאלה): מצאו את $∣ \underline{u} + \underline{v} + \underline{w} ∣$ .

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$1 + 4 + 4 = 3$
$2 - 5 + 3 = 0$ ← כן, מאונכים
$cos α = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ ← $6 0^{\circ}$
$4 + 4 + 4 = 12$ ← $12 = 23 \approx 3.46$

מתמטיקה 4 יח״ל · שאלון 3547214 / 14

› לכל המצגות